- Suponha que
seja L.I., mas
seja L.D. Mostre que
é combinação linear dos vetores de
.
Passo 1
O enunciado diz que o conjunto
é linearmente independente (L.I.),
mas ao acrescentar o vetor o conjunto
torna‐se linearmente dependente (L.D.).
Queremos mostrar que isso implica que é combinação linear dos vetores de
.
mas ao acrescentar o vetor
Queremos mostrar que isso implica que
Passo 2
Pela definição de dependência linear, como
é L.D., existem escalares
, nem todos nulos, tais que
Passo 3
Se
, então
com algum , o que contradiz o fato de
ser L.I.
Logo, devemos ter .
com algum
Logo, devemos ter
Passo 4
Como
, podemos isolar
na combinação linear:
Passo 5
A expressão acima mostra exatamente que
é combinação linear dos vetores de
.
Resposta
logo
está no span de
e é combinação linear de
.