1. Suponha que S=(v, v2 cdots, vn) seja L.I., mas (v1, v2, cdots, vn, w) seja L.D. Mostre que w é combinação linear dos vetores de S.

Passo 1

O enunciado diz que o conjunto
;S=(v1,v2,dots,vn) é linearmente independente (L.I.),
mas ao acrescentar o vetor w o conjunto
;(v1,v2,dots,vn,w) torna‐se linearmente dependente (L.D.).
Queremos mostrar que isso implica que w é combinação linear dos vetores de S.

Passo 2

Pela definição de dependência linear, como
;(v1,dots,vn,w) é L.D., existem escalares
alpha1,alpha2,dots,alphan,beta, nem todos nulos, tais que
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn+beta,w=0

Passo 3

Se beta=0, então
alpha1v1+cdots+alphanvn=0
com algum alphaineq0, o que contradiz o fato de S ser L.I.
Logo, devemos ter betaneq0.

Passo 4

Como betaneq0, podemos isolar w na combinação linear:
beta,w = -l(alpha1v1+cdots+alphanvnr) Longrightarrow w = -alpha1beta,v1 - cdots - alphanbeta,vn

Passo 5

A expressão acima mostra exatamente que w é combinação linear dos vetores de S.

Resposta

w = -alpha1beta,v1 - cdots - alphanbeta,vn,
logo w está no span de S e é combinação linear de v1,dots,vn.

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