1. Mostre que os polinômios a seguir são linearmente independentes
p(x)=x^3+5 x^2+1, q(x)=2 x^4+5 x-6, r(x)=x^2-5 x+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
p(x)=x^3+5x^2+1, q(x)=2x^4+5x-6, r(x)=x^2-5x+2
são linearmente independentes no espaço dos polinômios de grau <=4. Para isso, vamos usar o critério de que uma combinação linear homogênea só tem solução trivial.

Passo 2

Suponha que existam alpha,beta,gammainR tais que
alpha,p(x)+beta,q(x)+gamma,r(x)=0
é o polinômio nulo. Expandindo e juntando termos semelhates, obtemos
alpha(x^3+5x^2+1)+beta(2x^4+5x-6)+gamma(x^2-5x+2)=0,
ou seja
2beta,x^4 + alpha,x^3 + (5alpha+gamma),x^2 + (5beta-5gamma),x + (alpha-6beta+2gamma)=0

Passo 3

Como o polinômio à direita é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Do termo em x^4 vem
2beta=0 Longrightarrow beta=0
Do termo em x^3 vem
alpha=0

Passo 4

Do coeficiente de x^2 segue
5alpha+gamma=0 Longrightarrow gamma=0
(visto que alpha=0).

Passo 5

Os coeficientes de x e do termo constante ficam
5beta-5gamma=0 e alpha-6beta+2gamma=0,
mas com alpha=beta=gamma=0 ambos são satisfeitos sem adicionar novas condições.

Resposta

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, os polinômios p,q,r são linearmente independentes.

Exercícios relacionados