- Mostre que os polinômios a seguir são linearmente independentes
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os polinômios
são linearmente independentes no espaço dos polinômios de grau
. Para isso, vamos usar o critério de que uma combinação linear homogênea só tem solução trivial.
Passo 2
Suponha que existam
tais que
é o polinômio nulo. Expandindo e juntando termos semelhates, obtemos
ou seja
Passo 3
Como o polinômio à direita é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Do termo em
vem
Do termo em
vem
Passo 4
Do coeficiente de
segue
(visto que
).
Passo 5
Os coeficientes de
e do termo constante ficam
mas com
ambos são satisfeitos sem adicionar novas condições.
Resposta
Como a única solução é
, os polinômios
são linearmente independentes.