5.2: Determine se é Verdadeiro ou Falso:
(a) todo conjunto ortogonal é ortonormal;
(b) todo vetor não-nulo pode ser normalizado;
(c) um conjunto ortonormal de vetores é sempre Ll;
(d) lang<=v, lambda wrang<==lambdalang<=v, wrang<=;
(e) |lambda v|=lambda|v|.

Passo 1

O enunciado pede para classificar as afirmações sobre espaços com produto interno como verdadeiras ou falsas. O conteúdo principal envolve as definições de conjunto ortogonal, conjunto ortonormal, normalização de vetores, independência linear, linearidade do produto interno e propriedade da norma.

Passo 2

(a) Um conjunto é ortogonal se todo par distinto de vetores nele tem produto interno zero, mas não exige norma igual a 1. Para ser ortonormal, além de ortogonal, cada vetor precisa satisfazer |v|=1. Logo, há conjuntos ortogonais cujos vetores não têm norma unitária. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) Dado qualquer vetor não-nulo v, podemos definir o vetor normalizado como u=v/|v|. Como |v|>0, isso faz sentido e produz |u|=1. Logo, toda vetor não-nulo pode ser normalizado, e a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) Um conjunto ortonormal satisfaz duas coisas: vetores mutuamente ortogonais e cada um com norma 1. Dessa combinação de propriedades decorre automaticamente a independência linear (pois se houvesse combinação linear nula não trivial, faria contradizer ortogonalidade ou norma unitária). Portanto é sempre verdadeiro que um conjunto ortonormal é linearmente independente.

Passo 5

(d) Nas propriedades do produto interno real temos, para todo escalar lambda e vetores v,w,
lang<= v,lambdawrang<= = lambda,lang<= v,wrang<=
Isso é parte da bilinearidade, então a afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) A norma induzida pelo produto interno satisfaz
|lambda v| = |lambda|,|v|,
não simplesmente lambda|v|, a menos que lambda>=0. Como a afirmação não faz essa ressalva, ela é falsa.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) F

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