5.2: Determine se é Verdadeiro ou Falso:
(a) todo conjunto ortogonal é ortonormal;
(b) todo vetor não-nulo pode ser normalizado;
(c) um conjunto ortonormal de vetores é sempre Ll;
(d)
;
(e)
.
(a) todo conjunto ortogonal é ortonormal;
(b) todo vetor não-nulo pode ser normalizado;
(c) um conjunto ortonormal de vetores é sempre Ll;
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para classificar as afirmações sobre espaços com produto interno como verdadeiras ou falsas. O conteúdo principal envolve as definições de conjunto ortogonal, conjunto ortonormal, normalização de vetores, independência linear, linearidade do produto interno e propriedade da norma.
Passo 2
(a) Um conjunto é ortogonal se todo par distinto de vetores nele tem produto interno zero, mas não exige norma igual a 1. Para ser ortonormal, além de ortogonal, cada vetor precisa satisfazer
. Logo, há conjuntos ortogonais cujos vetores não têm norma unitária. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) Dado qualquer vetor não-nulo
, podemos definir o vetor normalizado como
. Como
, isso faz sentido e produz
. Logo, toda vetor não-nulo pode ser normalizado, e a afirmação é verdadeira.
Passo 4
(c) Um conjunto ortonormal satisfaz duas coisas: vetores mutuamente ortogonais e cada um com norma 1. Dessa combinação de propriedades decorre automaticamente a independência linear (pois se houvesse combinação linear nula não trivial, faria contradizer ortogonalidade ou norma unitária). Portanto é sempre verdadeiro que um conjunto ortonormal é linearmente independente.
Passo 5
(d) Nas propriedades do produto interno real temos, para todo escalar
e vetores
,
Isso é parte da bilinearidade, então a afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) A norma induzida pelo produto interno satisfaz
não simplesmente
, a menos que
. Como a afirmação não faz essa ressalva, ela é falsa.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) F