Suponha que se saiba que para bebês de até um mês de vida o ganho de peso médio quando alimentados com uma dieta suplementar é de 311,9 g com desvio padrão de 142,8 g e o ganho de peso sem a dieta suplementar é de 212,4 g com desvio padrão de 160,3 g. Selecionam-se aleatoriamente 35 bebês alimentados com dieta suplementar e 40 bebês alimentados sem dieta suplementar.
Qual a probabilidade de que a diferença entre as médias de ganho de peso para as duas amostras seja maior que 100 g?

Passo 1

Então, o exercício diz que temos dois grupos de bebês: um com dieta suplementar (n₁=35, média μ₁=311,9 g, σ₁=142,8 g) e outro sem suplementar (n₂=40, média μ₂=212,4 g, σ₂=160,3 g). A gente quer saber qual a chance de que a diferença das médias (suplementar menos sem) seja maior que 100 g.
Conteúdo: distribuição amostral da diferença de médias de duas amostras independentes. Vamos usar o Teorema do Limite Central para aproximar essa diferença por uma Normal e aí calcular aquela probabilidade.

Passo 2

Definindo a variável de interesse
Seja
D = bar X1 - bar X2
onde E[D] = mu1 - mu2 = 311,9 - 212,4 = 99,5 g, e Var(D) = sigma1^2n1 + sigma2^2n2 = 142,8^235 + 160,3^240 são as médias amostrais dos grupos 1 e 2.
Pelos dados, a esperança (média) e o desvio-padrão de são:

Passo 3

Calcular o desvio-padrão de sigmaD = raiz142,8^235 + 160,3^240 approx raiz582,62 + 642,40 approx raiz1,225,02 approx 35,0 g (ou erro padrão):
Pelo TLC, é aproximadamente .

Passo 4

Queremos
Pl(D > 100r) = P!l(Z > 100 - 99,535,0r),
onde 100 - 99,535,0 = 0,535,0 approx 0,0143 .
P(D>100) = 1 - Phi(0,0143) approx 1 - 0,5057 = 0,4943
Então

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,49 (ou 49%).

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