Suponha que se saiba que para bebês de até um mês de vida o ganho de peso médio quando alimentados com uma dieta suplementar é de 311,9 g com desvio padrão de 142,8 g e o ganho de peso sem a dieta suplementar é de 212,4 g com desvio padrão de 160,3 g. Selecionam-se aleatoriamente 35 bebês alimentados com dieta suplementar e 40 bebês alimentados sem dieta suplementar.
Qual a probabilidade de que a diferença entre as médias de ganho de peso para as duas amostras seja inferior a 85 g ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois grupos de bebês (até 1 mês):
  • Grupo 1 (suplementar): média de ganho g e desvio-padrão g, com .
  • Grupo 2 (sem suplemento): média g e desvio-padrão g, com .
A pergunta é: qual a probabilidade de que a diferença das médias amostrais seja menor que 85 g?
Conteúdo usado: distribuição da diferença de médias amostrais para variáveis normais independentes.

Passo 2

Teoria básica: se bar X1 - bar X2 sim N!l(mu1 - mu2,;; sigma1^2n1 + sigma2^2n2r) e são as médias amostrais de duas normais independentes, então
Ou seja, a média dessa diferença é e a variância é .

Passo 3

Primeiro, calcula a diferença das médias populacionais:
mu1 - mu2 = 311,9 - 212,4 = 99,5 g

Passo 4

Agora a variância de sigma1^2n1 + sigma2^2n2 = (142,8)^235 ;+; (160,3)^240 :
(142,8)^2 = 20391,84, (160,3)^2 = 25696,09,
Calculando:
20391,8435 approx 582,62, 25696,0940 approx 642,40,
variância approx 582,62 + 642,40 = 1225,02, desvio = raiz1225,02 approx 35,0 g
â

Passo 5

Pra achar a probabilidade pedida, a gente padroniza:
Z = (bar X1 - bar X2) - (mu1-mu2)raizsigma1^2/n1 + sigma2^2/n2 = (bar X1 - bar X2) - 99,535,0
Queremos
P(bar X1 - bar X2 < 85) = Pl(Z < 85 - 99,535,0r) = Pl(Z < -0,4143r)

Passo 6

Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora),
P(Z < -0,4143) = Phi(-0,4143) approx 0,339

Resposta

A probabilidade de g é aproximadamente 0,339 (33,9%).

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