Suponha as seguines medidas de um conjunto de dados:
Y=2,0,3,3,5,9,5,4,8,6,2,5,7,6,2,3,5
. Encontre a curtose usando a fórmula
K=Q3-Q12P90-P10
Interprete o resultado.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a “curtose” de um conjunto de dados usando uma fórmula diferente da curtose clássica. Aqui a ideia é de estatística descritiva, mais precisamente medidas de posição (quartis e percentis) e um índice de curtose definido como
K = Q3 - Q12P90 - P10
Então o que a gente vai precisar é:
  1. Ordenar os dados;
  2. Calcular o 1º quartil ( Q1) e o 3º quartil ( Q3);
  3. Calcular o percentil 10 ( P10) e o percentil 90 ( P90);
  4. Colocar tudo na fórmula e interpretar o resultado.

Passo 2

Primeiro a gente ordena os valores do menor para o maior, porque quartis e percentis precisam do dado já organizado. Nosso conjunto é
Y = 2,0,3,3,5,9,5,4,8,6,2,5,7,6,2,3,5
Ordenando:
0,;2,2,2,;3,3,3,;4,;5,5,5,5,;6,6,;7,;8,;9
Agora a gente conta que tem observações.

Passo 3

Explicando a teoria: o posição = (n+1),p -ésimo percentil (ou quartil, que é um caso particular) em amostras pequenas costuma ser feito pela posição
pos(Q1) = (17+1)times0.25 = 18times0.25 = 4,5 çã
Para o 1º quartil Q1 = 2 + 0.5,(3-2) = 2,5 , pos(Q3) = 18times0.75 = 13,5 :
Q3 = 6 + 0.5,(6-6) = 6
Isso significa que fica “entre” o 4º e o 5º valor ordenado. O 4º valor é 2 e o 5º é 3, então
Para o 3º quartil , :
O 13º valor é 6 e o 14º também é 6, logo

Passo 4

Agora os percentis 10 e 90. Mesma ideia:
Para pos(P10) = 18times0.10 = 1,8 , P10 = 0 + 0.8,(2-0) = 1,6 :
pos(P90) = 18times0.90 = 16,2
O 1º valor é 0, o 2º é 2, então
P90 = 8 + 0.2,(9-8) = 8,2
Para , :
O 16º valor é 8 e o 17º é 9, daí

Passo 5

Já temos tudo pra fórmula:
  1. A “semi-distância” entre quartis é
Q3 - Q12 = 6 - 2.52 = 3.52 = 1.75
  1. A largura entre P90 - P10 = 8.2 - 1.6 = 6.6 e K = 1.756.6 approx 0.2652 é
Então a curtose alternativa é

Resposta

O valor calculado de K approx 0.27 fica aproximadamente
Como para uma distribuição normal essa medida dá cerca de 0.263, nosso conjunto está bem parecido com uma distribuição mesocúrtica (tipo “normal”), nem muito “achatada” nem com “caudas” exageradas.

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