Suponha os seguintes conjuntos de dados abaixo. Econtre: a) média, variância, desvio padrão e o coeficiente de variação
  • X=12, 14, 18, cdots, 12^n, para n infty (lembre-se que isso é uma P.G. infinita)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede.
Temos um “conjunto” infinito de valores
X=ltfrac12,;tfrac14,;tfrac18,;dots,;tfrac12^n,dotsl
e precisamos achar:
a) média (esperança)
b) variância
c) desvio padrão
d) coeficiente de variação
Para que tudo isso faça sentido em estatística, vamos interpretar esses valores como os possíveis valores de uma variável aleatória discreta Pl(X=tfrac12^nr)=tfrac12^n, n=1,2,3,dots , com probabilidades
Note que , então isso de fato define uma distribuição de probabilidade.
Para resolver, vamos precisar lembrar:
  • Fórmula da soma de uma P.G. infinita: (se ).
  • Definição de esperança de variável discreta: .
  • Definição de variância: .
  • Desvio padrão: .
  • Coeficiente de variação: .

Passo 2

Calcular a média E[X] =sumn=1^infty l(tfrac12^nr)cdotl(tfrac12^nr) =sumn=1^infty 14^n .
Por definição,
E[X] =sumn=1^infty 14^n =tfrac141-tfrac14 =tfrac14tfrac34 =13
Isto é uma P.G. com primeiro termo e razão .
Logo

Passo 3

Calcular E[X^2] =sumn=1^infty Pl(X=tfrac12^nr),l(tfrac12^nr)^2 =sumn=1^infty 12^ncdot12^2n =sumn=1^infty 12^3n .
E[X^2] =tfrac181-tfrac18 =tfrac18tfrac78 =17
Agora é P.G. com e , então

Passo 4

Calcular a variância:
Var(X) =E[X^2] - l(E[X]r)^2 =17-l(13r)^2 =17-19 =9-763 =263

Passo 5

Calcular o desvio padrão:
sigma =raizVar(X) =raiz263

Passo 6

Calcular o coeficiente de variação:
CV =sigmaE[X] =raiz2/631/3 =3,raiz263 =raiz187 =3raiz2raiz7

Resposta

Média:
Variância:
Desvio padrão:
Coeficiente de variação:

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