Suponha que y=f(x) seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y^{3}+2 x y^{2}+x=5. Suponha ainda que 1 pertença ao domínio de f. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y^{3}+2xy^{2}+x=5
e pede a reta tangente no ponto de abscissa x=1. Para isso, vamos precisar de dois ingredientes: o valor de y em x=1 (chamaremos de y_{0}) e a derivada y' em x=1, obtida por diferenciação implícita.

Passo 2

Para achar y_{0}=f(1), basta pôr x=1 em
y^{3}+2xy^{2}+x=5
e resolver
y_{0}^{3}+2\cdot1\cdot y_{0}^{2}+1=5 \quad\Longrightarrow\quad y_{0}^{3}+2y_{0}^{2}-4=0.
Essa equação cúbica tem uma única raiz real, que por método numérico (por exemplo Newton) encontra-se
y_{0}\approx1{,}131.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Diferenciando
y^{3}+2xy^{2}+x=5
vem
3y^{2}y' + \bigl(2y^{2} + 4xy\,y'\bigr) + 1 = 0
onde usamos produto em 2xy^{2}. Organizando os termos em y',
y'\bigl(3y^{2}+4xy\bigr) + 2y^{2} + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2y^{2}+1}{3y^{2}+4xy}.

Passo 4

Avaliaremos em (x,y)=(1,y_{0}). Substituindo x=1 e y=y_{0},
m \;=\; y'(1) \;=\; -\frac{2y_{0}^{2}+1}{3y_{0}^{2}+4\cdot1\cdot y_{0}} \;\approx\; -\frac{2\,(1{,}131)^{2}+1}{3\,(1{,}131)^{2}+4\,(1{,}131)} \;\approx\;-0{,}425.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (1,y_{0}) é
y - y_{0} = m\,(x-1).
Substituindo y_{0}\approx1{,}131 e m\approx-0{,}425,
y - 1{,}131 = -0{,}425\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y = -0{,}425\,x + \bigl(1{,}131 + 0{,}425\bigr) \;\approx\;-0{,}425\,x + 1{,}556.

Resposta

A reta tangente ao gráfico de f em x=1 é
\boxed{y = -0,425\,x + 1,556.}

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