Suponha que
seja uma função derivável dada implicitamente pela equação
. Suponha ainda que 1 pertença ao domínio de
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 1 .
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede a reta tangente no ponto de abscissa
. Para isso, vamos precisar de dois ingredientes: o valor de
em
(chamaremos de
) e a derivada
em
, obtida por diferenciação implícita.
Passo 2
Para achar
, basta pôr
em
e resolver
Essa equação cúbica tem uma única raiz real, que por método numérico (por exemplo Newton) encontra-se
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente em relação a
. Diferenciando
vem
onde usamos produto em
. Organizando os termos em
,
Passo 4
Avaliaremos em
. Substituindo
e
,
Passo 5
A equação da reta tangente no ponto
é
Substituindo
e
,
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
em
é