Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
f(x)=5 x^{\frac{2}{5}}-x^{\frac{5}{3}}

Passo 1

O enunciado pede um esboço de
f(x)=5x^{\frac{2}{5}}-x^{\frac{5}{3}}
determinando
– os extremos relativos;
– os pontos de inflexão;
– os intervalos de crescimento e decrescimento;
– onde f é côncava para cima e para baixo;
além de calcular a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
Para isso vamos precisar de f'(x) (monotonicidade e extremos) e de f''(x) (concavidade e inflexão).

Passo 2

Cálculo de f'(x) e estudo de monotonicidade.
Primeiro derivamos:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(5x^{\tfrac{2}{5}}\Bigr) -\frac{d}{dx}\Bigl(x^{\tfrac{5}{3}}\Bigr) =5\cdot\frac{2}{5}\,x^{\frac{2}{5}-1} -\frac{5}{3}\,x^{\frac{5}{3}-1} =2\,x^{-\frac{3}{5}} -\frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}}.
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 e de onde f' não existe.
1. x=0, pois x^{-\tfrac{3}{5}} não está definido em 0.
2. Para x\neq0 resolvemos
2\,x^{-\tfrac{3}{5}} =\frac{5}{3}\,x^{\tfrac{2}{3}} \quad\Longrightarrow\quad 2 =\frac{5}{3}\,x^{\tfrac{2}{3}+\tfrac{3}{5}} =\frac{5}{3}\,x^{\tfrac{19}{15}} \quad\Longrightarrow\quad x^{\tfrac{19}{15}}=\frac{6}{5}
\Longrightarrow x_1=\bigl(\tfrac{6}{5}\bigr)^{\tfrac{15}{19}}>0\approx1,155.
Agora o sinal de f':
– Em (-\infty,0), x^{-\tfrac{3}{5}}<0 e x^{\tfrac{2}{3}}>0, logo f'<0.
– Em (0,x_1), x^{-\tfrac{3}{5}}>0 domina x^{\tfrac{2}{3}}, logo f'>0.
– Em (x_1,\infty), o termo negativo -\tfrac{5}{3}x^{\tfrac{2}{3}} domina, logo f'<0.
Conclusão de monotonicidade e extremos:
f decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,x_1), decrescente em (x_1,\infty).
– Há mínimo relativo em x=0 com f(0)=0.
– Há máximo relativo em x=x_1\approx1,155, com
f(x_1) =5\,x_1^{\tfrac{2}{5}}-x_1^{\tfrac{5}{3}} \approx4,03.

Passo 3

Cálculo de f''(x) e pontos de inflexão.
Derivando f'(x):
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(2\,x^{-\tfrac{3}{5}}\Bigr) -\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{5}{3}\,x^{\tfrac{2}{3}}\Bigr) =-\frac{6}{5}\,x^{-\frac{8}{5}} -\frac{10}{9}\,x^{-\frac{1}{3}}.
Procuramos f''(x)=0 para x\neq0:
-\frac{6}{5}\,x^{-\tfrac{8}{5}} -\frac{10}{9}\,x^{-\tfrac{1}{3}}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{6}{5}\,x^{-\tfrac{8}{5}} =-\frac{10}{9}\,x^{-\tfrac{1}{3}} \;\Longrightarrow\; x^{\tfrac{19}{15}}=-\frac{27}{25}
\Longrightarrow x_2=-\bigl(\tfrac{27}{25}\bigr)^{\tfrac{15}{19}} \approx-1,063.
Analisando o sinal de f'':
– Em (-\infty,x_2) nota-se f''>0 (côncavo para cima).
– Em (x_2,0) e em (0,\infty), f''<0 (côncavo para baixo).
Logo o único ponto de inflexão real é
\;x=x_2\approx-1,063, com
f(x_2) =5\,x_2^{\tfrac{2}{5}}-x_2^{\tfrac{5}{3}} \approx6,23.

Passo 4

Inclinação da reta tangente em x_2.
Basta avaliar f'(x_2):
m=f'(x_2) =2\,x_2^{-\tfrac{3}{5}} -\frac{5}{3}\,x_2^{\tfrac{2}{3}} \approx -3,63.
Essa reta tangente ajuda a posicionar corretamente a curva no ponto de inflexão.

Passo 5

Esboço do gráfico.
– Marque os pontos críticos (0,0) (mínimo) e (x_1,f(x_1))\approx(1,155,4,03) (máximo).
– Marque o ponto de inflexão (x_2,f(x_2))\approx(-1,063,6,23) com reta tangente de coeficiente -3,63.
– Desenhe f decrescendo até (x_2,6,23), sendo côncava para cima em (-\infty,x_2).
– A partir de x_2 até 0, a curva decresce côncava para baixo.
– De 0 a x_1 cresce, ainda côncava para baixo.
– Para x>x_1 a curva decresce e continua côncava para baixo.(Figura aproximada.)

Resposta

– Extremos relativos:
\bullet Mínimo em x=0, f(0)=0.
\bullet Máximo em x=(\tfrac{6}{5})^{\tfrac{15}{19}}\approx1,155, f\approx4,03.
– Ponto de inflexão:
\bullet x=-\bigl(\tfrac{27}{25}\bigr)^{\tfrac{15}{19}}\approx-1,063, f\approx6,23.
\bullet Inclinação da reta tangente aí: m\approx-3,63.
– Crescimento/decrescimento:
\bullet Decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,1,155), decrescente em (1,155,\infty).
– Concavidade:
\bullet Côncava para cima em (-\infty,-1,063).
\bullet Côncava para baixo em (-1,063,\infty).

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