Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede um esboço de
determinando
– os extremos relativos;
– os pontos de inflexão;
– os intervalos de crescimento e decrescimento;
– onde é côncava para cima e para baixo;
além de calcular a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
Para isso vamos precisar de (monotonicidade e extremos) e de
(concavidade e inflexão).
– os extremos relativos;
– os pontos de inflexão;
– os intervalos de crescimento e decrescimento;
– onde
além de calcular a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
Para isso vamos precisar de
Passo 2
Cálculo de
e estudo de monotonicidade.
Primeiro derivamos:
Primeiro derivamos:
Os pontos críticos vêm de
e de onde
não existe.
.
, pois
não está definido em
.
. Para
resolvemos
Agora o sinal de
:
– Em ,
e
, logo
.
– Em ,
domina
, logo
.
– Em , o termo negativo
domina, logo
.
Conclusão de monotonicidade e extremos:
– decrescente em
, crescente em
, decrescente em
.
– Há mínimo relativo em com
.
– Há máximo relativo em , com
– Em
– Em
– Em
Conclusão de monotonicidade e extremos:
–
– Há mínimo relativo em
– Há máximo relativo em
Passo 3
Cálculo de
e pontos de inflexão.
Derivando :
Derivando
Procuramos
para
:
Analisando o sinal de
:
– Em nota-se
(côncavo para cima).
– Em e em
,
(côncavo para baixo).
Logo o único ponto de inflexão real é
, com
– Em
– Em
Logo o único ponto de inflexão real é
Passo 4
Inclinação da reta tangente em
.
Basta avaliar :
Basta avaliar
Essa reta tangente ajuda a posicionar corretamente a curva no ponto de inflexão.
Passo 5
Esboço do gráfico.
– Marque os pontos críticos (mínimo) e
(máximo).
– Marque o ponto de inflexão com reta tangente de coeficiente
.
– Desenhe decrescendo até
, sendo côncava para cima em
.
– A partir de até
, a curva decresce côncava para baixo.
– De a
cresce, ainda côncava para baixo.
– Para a curva decresce e continua côncava para baixo.(Figura aproximada.)
– Marque os pontos críticos
– Marque o ponto de inflexão
– Desenhe
– A partir de
– De
– Para
Resposta
– Extremos relativos:
Mínimo em
,
.
Máximo em
,
.
– Ponto de inflexão:
,
.
Inclinação da reta tangente aí:
.
– Crescimento/decrescimento:
Decrescente em
, crescente em
, decrescente em
.
– Concavidade:
Côncava para cima em
.
Côncava para baixo em
.
– Ponto de inflexão:
– Crescimento/decrescimento:
– Concavidade: