Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
Temos a função
O que a questão pede é:
– encontrar extremos relativos de ,
– localizar pontos de inflexão,
– determinar os intervalos em que é crescente e decrescente,
– indicar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo,
– e obter a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
Para fazer tudo isso, vamos usar a primeira e a segunda derivadas de .
– encontrar extremos relativos de
– localizar pontos de inflexão,
– determinar os intervalos em que
– indicar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo,
– e obter a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
Para fazer tudo isso, vamos usar a primeira e a segunda derivadas de
Passo 2
Calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos.
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos
Em seguida, calculamos os valores de
nesses pontos:
Passo 3
Determinar monotonicidade e classificar os extremos.
O sinal de é
– positivo para e para
,
– negativo para .
Logo, é crescente em
e em
, e é decrescente em
.
Isso mostra que
– em temos um máximo relativo com
,
– em temos um mínimo relativo com
.
O sinal de
– positivo para
– negativo para
Logo,
Isso mostra que
– em
– em
Passo 4
Calcular a segunda derivada, achar ponto de inflexão e concavidade.
Igualando a zero,
Em
,
, logo o ponto de inflexão é
.
Além disso,
– para temos
, ou seja, o gráfico é côncavo para baixo,
– para temos
, ou seja, o gráfico é côncavo para cima.
Além disso,
– para
– para
Passo 5
Determinar a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão.
A inclinação é :
A inclinação é
Então a equação da reta tangente em
é
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico de
:
– Marcar os extremos: máximo em , mínimo em
.
– Marcar o ponto de inflexão em e desenhar a reta tangente com declive
.
– Traçar a curva crescente até , depois decrescente até
, depois crescente novamente.
– Desenhar concavidade para baixo até e concavidade para cima após
.
– Marcar os extremos: máximo em
– Marcar o ponto de inflexão em
– Traçar a curva crescente até
– Desenhar concavidade para baixo até
Resposta
Extremos relativos: máximo em
, mínimo em
.
Ponto de inflexão: .
é crescente em
e decrescente em
.
O gráfico é côncavo para baixo em e côncavo para cima em
.
Reta tangente no ponto de inflexão: .
Ponto de inflexão:
O gráfico é côncavo para baixo em
Reta tangente no ponto de inflexão: