Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3

Passo 1

Temos a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+3
O que a questão pede é:
– encontrar extremos relativos de f,
– localizar pontos de inflexão,
– determinar os intervalos em que f é crescente e decrescente,
– indicar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo,
– e obter a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão.
Para fazer tudo isso, vamos usar a primeira e a segunda derivadas de f.

Passo 2

Calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+3\bigr)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos
3x(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.
Em seguida, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=3,\qquad f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+3=8-12+3=-1.

Passo 3

Determinar monotonicidade e classificar os extremos.
O sinal de f'(x)=3x(x-2) é
– positivo para x<0 e para x>2,
– negativo para 0<x<2.
Logo, f é crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty), e é decrescente em (0,2).
Isso mostra que
– em x=0 temos um máximo relativo com f(0)=3,
– em x=2 temos um mínimo relativo com f(2)=-1.

Passo 4

Calcular a segunda derivada, achar ponto de inflexão e concavidade.
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x\bigr)=6x-6.
Igualando a zero,
6x-6=0\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Em x=1, f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+3=1, logo o ponto de inflexão é (1,1).
Além disso,
– para x<1 temos f''(x)<0, ou seja, o gráfico é côncavo para baixo,
– para x>1 temos f''(x)>0, ou seja, o gráfico é côncavo para cima.

Passo 5

Determinar a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão.
A inclinação é f'(1):
f'(1)=3\cdot1^{2}-6\cdot1=3-6=-3.
Então a equação da reta tangente em (1,1) é
y-1=-3\,(x-1).

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico de f:
– Marcar os extremos: máximo em (0,3), mínimo em (2,-1).
– Marcar o ponto de inflexão em (1,1) e desenhar a reta tangente com declive -3.
– Traçar a curva crescente até x=0, depois decrescente até x=2, depois crescente novamente.
– Desenhar concavidade para baixo até x=1 e concavidade para cima após x=1.

Resposta

Extremos relativos: máximo em (0,3), mínimo em (2,-1).
Ponto de inflexão: (1,1).
f é crescente em (-\infty,0)\cup(2,\infty) e decrescente em (0,2).
O gráfico é côncavo para baixo em (-\infty,1) e côncavo para cima em (1,\infty).
Reta tangente no ponto de inflexão: y-1=-3(x-1).

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