Suponha que
e
sejam constantes com
. Seja
a função definida por
. Mostre que a função inversa é dada por
para
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a função quadrática f(x)=a x^{2}+b x+c, com a>0 e restrita ao domínio x\geq-\tfrac{b}{2a}. O conteúdo é resolução de equação quadrática e escolha de ramo para garantir inversibilidade, além de identificar o valor mínimo de f.
Passo 2
Começamos atribuindo y=f(x), ou seja, y=a x^{2}+b x+c, e vamos resolver essa equação para x em função de y. Isso transforma o problema em achar as raízes de
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para x:
Passo 4
Dentro da raiz temos b^{2}-4a(c - y)=b^{2}-4ac+4ay. Então as possíveis soluções são
Passo 5
Para decidir o sinal ±, lembramos que o domínio de f é x\geq-\tfrac{b}{2a}. A raiz com sinal + gera x\geq-\tfrac{b}{2a}, enquanto o sinal – daria raízes menores que o vértice. Portanto escolhemos o sinal +.
Passo 6
Precisamos ainda do domínio da inversa: a imagem mínima de f ocorre no vértice x=-\tfrac{b}{2a}, valendo f(-\tfrac{b}{2a})=c-\tfrac{b{2}}{4a}=\tfrac{4ac-b{2}}{4a}. Logo a inversa só existe para y\geq\tfrac{4ac-b^{2}}{4a}.
Resposta
f{-1}(x)=\frac{-b+\sqrt{b{2}-4ac+4ax}}{2a}\quadparax\ge\frac{4ac-b^{2}}{4a}