Suponha que x=x(u, v) e y=y(u, v) sejam dadas implicitamente pelo sistema u=x+y, v=\frac{y}{x}(x \neq 0). Mostre que \frac{\partial x}{\partial u}\left(1+\frac{y}{x}\right)=1

Passo 1

O enunciado diz que x=x(u,v) e y=y(u,v) satisfazem implicitamente
u = x + y,
v = \frac{y}{x},\quad x\neq0.
Queremos mostrar que, mantendo v constante,
\frac{\partial x}{\partial u}\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)=1.
Para isso, usaremos diferenciação implícita em relação a u, tomando v como constante.

Passo 2

Diferenciando a primeira equação em relação a u (com v fixo) obtemos
d\,u = d(x+y) \quad\Longrightarrow\quad du = dx + dy.

Passo 3

Diferenciando a segunda equação em relação a u (com v fixo) obtemos
d\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = d\,v = 0
pois v é constante. Agora,
d\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2}
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\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,dy - y\,dx = 0.

Passo 4

Da relação x\,dy - y\,dx = 0 segue
dy = \frac{y}{x}\,dx.
Substituindo em du = dx + dy
du = dx + \frac{y}{x}\,dx = dx\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr).
Isolando \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} (isto é, dx/du) com v fixo, vem
\frac{dx}{du}\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr) = 1.

Resposta

\frac{\partial x}{\partial u}\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr) = 1.

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