Determine e classifique os pontos críticos de w=x y z sujeitos às restrições x^{2}+y^{2}=1 e x-z=0.
R.: Máximos em \left( \pm \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{1}{3}}, \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right) e (0, \pm 1,0) e mínimos \left( \pm \sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{1}{3}}, \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right) e (0,1,0).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos otimizar a função
w = x\,y\,z
sujeita às duas restrições
x^{2}+y^{2}=1 \quad\text{e}\quad x-z=0.
O método será o de multiplicadores de Lagrange, ou seja, resolveremos
\nabla w = \lambda\,\nabla(x^{2}+y^{2}-1) + \mu\,\nabla(x-z)
juntamente com as duas equações de restrição.

Passo 2

Escrevemos as equações de Lagrange. Primeiro calculamos gradientes:
\nabla w = (y\,z,\;x\,z,\;x\,y),
\nabla(x^{2}+y^{2}-1) = (2x,\;2y,\;0),
\nabla(x-z) = (1,\;0,\;-1).
Então as condições são
y\,z = 2\lambda\,x + \mu, \quad x\,z = 2\lambda\,y, \quad x\,y = -\mu,
mais as restrições
x^{2}+y^{2}=1, \quad z = x.

Passo 3

Usamos z=x e \mu=-x\,y (da terceira equação) e substituímos na primeira:
y\,x = 2\lambda\,x + (-x\,y) \;\Longrightarrow\; y\,x + x\,y = 2\lambda\,x \;\Longrightarrow\; 2x\,y = 2\lambda\,x.
Se x\neq0 então \lambda = y. Também da segunda equação x\,x = 2\lambda\,y, isto é
x^{2} = 2\,y\,y = 2\,y^{2}.
Como y^{2}=1-x^{2}, obtemos
x^{2} = 2\,(1 - x^{2}) \;\Longrightarrow\; x^{2} = 2 - 2x^{2} \;\Longrightarrow\; 3x^{2} = 2 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
Então
y^{2} = 1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}, \quad y = \pm\sqrt{\tfrac{1}{3}}, \quad z = x = \pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
Se x=0, então da restrição y^{2}=1 e z=0, logo y=\pm1. Esses são todos os pontos críticos.

Passo 4

Calculamos w=x\,y\,z = x\,y\,x = x^{2}y.
  • Para x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} e y=+\sqrt{\tfrac{1}{3}}: w = \tfrac{2}{3}\,\sqrt{\tfrac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}>0.
  • Para x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} e y=-\sqrt{\tfrac{1}{3}}: w = \tfrac{2}{3}\,(-\sqrt{\tfrac{1}{3}}) = -\frac{2}{3\sqrt{3}}<0.
  • Para (x,y,z)=(0,\pm1,0): w=0.
Como \tfrac{2}{3\sqrt{3}} é o maior valor possível, os pontos com y>0 são máximos; como -\tfrac{2}{3\sqrt{3}} é o menor, os pontos com y<0 são mínimos; e os de valor zero são pontos de sela.

Resposta

Máximos em
\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\sqrt{\tfrac{1}{3}},\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr), \quad \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\sqrt{\tfrac{1}{3}},\,-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr).
Mínimos em
\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,-\sqrt{\tfrac{1}{3}},\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr), \quad \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,-\sqrt{\tfrac{1}{3}},\,-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr).
Sela em
(0,\,1,\,0) \quad\text{e}\quad (0,\,-1,\,0).

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