Determine e classifique os pontos críticos de
sujeitos às restrições
e
.
R.: Máximos em
e
e mínimos
e
.
R.: Máximos em
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos otimizar a função
sujeita às duas restrições
O método será o de multiplicadores de Lagrange, ou seja, resolveremos
juntamente com as duas equações de restrição.
Passo 2
Escrevemos as equações de Lagrange. Primeiro calculamos gradientes:
Então as condições são
mais as restrições
Passo 3
Usamos
e
(da terceira equação) e substituímos na primeira:
Se
então
. Também da segunda equação
, isto é
Como
, obtemos
Então
Se
, então da restrição
e
, logo
. Esses são todos os pontos críticos.
Passo 4
Calculamos
.
- Para
e : - Para
e : - Para
:
Como
é o maior valor possível, os pontos com
são máximos; como
é o menor, os pontos com
são mínimos; e os de valor zero são pontos de sela.
Resposta
Máximos em
Mínimos em
Sela em