Encontre \int_{1}^{2} x^{-2} d x. Use a definição com pontos amostrais como os pontos finais certos de x_{i-1} e x_{i} (isto é, x_{i}^{*})

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2}x^{-2}\,dx
usando a definição de integral definida via soma de Riemann com pontos amostrais escolhidos como o ponto direito de cada subintervalo. O conteúdo é integral definida e soma de Riemann, e vamos precisar: (a) particionar o intervalo em n pedaços iguais, (b) escrever a soma de Riemann com x_i^*=x_i, e (c) tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Dividimos [1,2] em n subintervalos iguais. Cada subintervalo tem largura
\Delta x = \frac{2-1}{n} = \frac{1}{n}.
Os pontos da partição são
x_i = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{i}{n},\quad i=0,1,\dots,n.
Como usamos o ponto direito, tomamos x_i^* = x_i para cada i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann associada é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(x_i)^2}\,\frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}\,\frac{1}{\bigl(1+\frac{i}{n}\bigr)^{2}}.
Por definição de integral,
\int_{1}^{2}x^{-2}\,dx = \lim_{n\to\infty} S_n.

Passo 4

Como f(x)=x^{-2} é contínua em [1,2], o limite da soma de Riemann existe e vale o valor da integral. Para evitar fazer a soma explícita, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
\lim_{n\to\infty} S_n = \int_{1}^{2}x^{-2}\,dx.

Passo 5

Uma primitiva de x^{-2} é
\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C.
Portanto,
\int_{1}^{2}x^{-2}\,dx =\bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{2} =\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)-\bigl(-1\bigr) =1-\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}

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