Suponha que x=x(u, v) e y=y(u, v) sejam dadas implicitamente pelo sistema u=x+y, v=\frac{y}{x}(x \neq 0). Mostre que \frac{\partial x}{\partial u}\left(1+\frac{y}{x}\right)=1

Passo 1

O enunciado define funções x(u,v)\) e \(y(u,v)\) por meio do sistema implícito \[\begin{cases} u = x + y,\\\ v = \dfrac{y}{x}, \end{cases} \quad x\neq 0,
e pede para mostrar que
\frac{\partial x}{\partial u}\Bigl(1 + \frac{y}{x}\Bigr) = 1.
O conteúdo aqui é diferenciar implicitamente um sistema de duas equações para encontrar (\partial x/\partial u].

Passo 2

Diferenciando a primeira equação u = x + y em relação a u, mantendo v constante, obtemos
\frac{\partial}{\partial u}(x + y) \;=\;\frac{\partial u}{\partial u} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial y}{\partial u} = 1.
Chame esta igualdade de (1).

Passo 3

Diferenciando a segunda equação v = \tfrac{y}{x} em relação a u, com v constante, temos
\frac{\partial}{\partial u}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) \;=\; \frac{\partial v}{\partial u} = 0.
Usando a regra do quociente,
\frac{x\,\frac{\partial y}{\partial u} - y\,\frac{\partial x}{\partial u}}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{\partial y}{\partial u} - y\,\frac{\partial x}{\partial u} = 0.
Daí
\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{y}{x}\,\frac{\partial x}{\partial u}.
Chame esta igualdade de (2).

Passo 4

Substitua (2) em (1):
\frac{\partial x}{\partial u} + \underbrace{\frac{y}{x}\,\frac{\partial x}{\partial u}}_{=\;\frac{\partial y}{\partial u}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u}\Bigl(1 + \frac{y}{x}\Bigr) = 1.

Resposta

\frac{\partial x}{\partial u}\Bigl(1 + \frac{y}{x}\Bigr) = 1.

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