(Questão 5 - Seção 5.4 - Magalhães) As variáveis X e Y são independentes com X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) e Y \sim \operatorname{Exp}(2 \lambda). Usando função geradora de momentos, calcule a média e a variância de X-2 Y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a média e a variância da variável aleatória X-2Y. As informações dadas são:
  • X e Y são independentes.
  • X \sim \operatorname{Exp}(\lambda).
  • Y \sim \operatorname{Exp}(2\lambda).
    As perguntas a responder são, portanto:
  • Calcular \mathbb{E}[X-2Y].
  • Calcular \operatorname{Var}(X-2Y).

Passo 2

Vou usar função geradora de momentos (MGF) e as propriedades básicas dela. Primeiro, o que é MGF e por que ela ajuda:
  • Definição: a MGF de uma variável aleatória W é
M_W(t)=\mathbb{E}\big[e^{tW}\big].
  • Propriedades importantes:
    1. Se W=aU+bV com U e V independentes, então
    M_W(t)=M_U(at)\,M_V(bt).(Isto vem de \mathbb{E}[e^{t(aU+bV)}]=\mathbb{E}[e^{atU}]\,\mathbb{E}[e^{btV}] pela independência.)
    2. Momentos a partir da MGF: M_W'(t)=\mathbb{E}\big[W e^{tW}\big],\qquad M_W''(t)=\mathbb{E}\big[W^2 e^{tW}\big],então avaliando em t=0 temos M_W'(0)=\mathbb{E}[W],\qquad M_W''(0)=\mathbb{E}[W^2].Assim \operatorname{Var}(W)=M_W''(0)-\big(M_W'(0)\big)^2.
Essas são fórmulas diretas e muito úteis para obter média e variância a partir da MGF.

Passo 3

Agora: MGF de uma exponencial. Se T\sim\operatorname{Exp}(\theta) (taxa \theta>0), então
M_T(t)=\mathbb{E}[e^{tT}]=\int_{0}^{\infty} e^{tx}\,\theta e^{-\theta x}\,dx =\theta\int_{0}^{\infty} e^{-(\theta-t)x}\,dx.
Esse integral converge para \theta>t e seu valor é
M_T(t)=\frac{\theta}{\theta-t},\qquad \text{(para } t<\theta\text{).}
Explicação rápida: \int_{0}^{\infty} e^{-ax}\,dx=1/a para a>0, aqui a=\theta-t.

Passo 4

Aplique isso a X e Y:
  • Para X\sim\operatorname{Exp}(\lambda):
M_X(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t},\qquad (t<\lambda).
  • Para Y\sim\operatorname{Exp}(2\lambda):
M_Y(t)=\frac{2\lambda}{2\lambda-t},\qquad (t<2\lambda).

Passo 5

Construir a MGF de Z:=X-2Y. Usando a propriedade para combinação linear e a independência:
M_Z(t)=M_X(t)\,M_Y(-2t).
Calcule M_Y(-2t):
M_Y(-2t)=\frac{2\lambda}{2\lambda-(-2t)}=\frac{2\lambda}{2\lambda+2t}=\frac{\lambda}{\lambda+t}.
Portanto
M_Z(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\cdot\frac{\lambda}{\lambda+t} =\frac{\lambda^2}{\lambda^2-t^2},
com domínio |t|<\lambda (interseção das condições).
Observação: dá para ver um belo cancelamento que simplifica a MGF.

Passo 6

Calcular a média \mathbb{E}[Z]=M_Z'(0). Primeiro derive M_Z(t)=\lambda^2(\lambda^2-t^2)^{-1}.
Derivando:
M_Z'(t)=\lambda^2\cdot\frac{d}{dt}\big(\lambda^2-t^2\big)^{-1} =\lambda^2\cdot 2t\big(\lambda^2-t^2\big)^{-2} =\frac{2\lambda^2 t}{(\lambda^2-t^2)^2}.
Avalie em t=0:
M_Z'(0)=\frac{2\lambda^2\cdot 0}{\lambda^4}=0.
Logo \mathbb{E}[X-2Y]=0.
Checagem rápida (mais direta, sem MGF): \mathbb{E}[X]=1/\lambda e \mathbb{E}[Y]=1/(2\lambda), então
\mathbb{E}[X-2Y]=\frac{1}{\lambda}-2\cdot\frac{1}{2\lambda}=0,
o que confirma o resultado.

Passo 7

Calcular a variância \operatorname{Var}(Z)=M_Z''(0)-\big(M_Z'(0)\big)^2. Já sabemos M_Z'(0)=0, então basta M_Z''(0).
Continuando a derivação: a partir de
M_Z'(t)=\frac{2\lambda^2 t}{(\lambda^2-t^2)^2},
use regra do produto/quotient já aplicada antes; aqui faço passo a passo:
M_Z''(t)=2\lambda^2\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{(\lambda^2-t^2)^2}\right).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{(\lambda^2-t^2)^2}\right) =\frac{1}{(\lambda^2-t^2)^2}+t\cdot\frac{d}{dt}\big((\lambda^2-t^2)^{-2}\big).
E
\frac{d}{dt}\big((\lambda^2-t^2)^{-2}\big)=-2(\lambda^2-t^2)^{-3}\cdot(-2t)=4t(\lambda^2-t^2)^{-3}.
Portanto
M_Z''(t)=2\lambda^2\left(\frac{1}{(\lambda^2-t^2)^2}+t\cdot 4t(\lambda^2-t^2)^{-3}\right) =2\lambda^2\left(\frac{1}{(\lambda^2-t^2)^2}+\frac{4t^2}{(\lambda^2-t^2)^3}\right).
Avalie em t=0:
M_Z''(0)=2\lambda^2\left(\frac{1}{\lambda^4}+0\right)=\frac{2}{\lambda^2}.
Como M_Z'(0)=0, segue
\operatorname{Var}(X-2Y)=\frac{2}{\lambda^2}.
Checagem alternativa (mais direta usando independência): \operatorname{Var}(X)=1/\lambda^2, \operatorname{Var}(Y)=1/(2\lambda)^2=1/(4\lambda^2). Para Z=X-2Y,
\operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}(X)+4\operatorname{Var}(Y)=\frac{1}{\lambda^2}+4\cdot\frac{1}{4\lambda^2}=\frac{2}{\lambda^2},
o mesmo resultado.

Resposta

\mathbb{E}[X-2Y]=0
\operatorname{Var}(X-2Y)=\dfrac{2}{\lambda^2}

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