(Questão 5 - Seção 5.4 - Magalhães) As variáveis
e
são independentes com
e
. Usando função geradora de momentos, calcule a média e a variância de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a média e a variância da variável aleatória
. As informações dadas são:
-
e são independentes. -
. -
.
As perguntas a responder são, portanto: - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Vou usar função geradora de momentos (MGF) e as propriedades básicas dela. Primeiro, o que é MGF e por que ela ajuda:
- Definição: a MGF de uma variável aleatória
é
- Propriedades importantes:
- Se
com e independentes, então
(Isto vem de pela independência.)
2. Momentos a partir da MGF:então avaliando em temos Assim - Se
Essas são fórmulas diretas e muito úteis para obter média e variância a partir da MGF.
Passo 3
Agora: MGF de uma exponencial. Se
(taxa
), então
Esse integral converge para
e seu valor é
Explicação rápida:
para
, aqui
.
Passo 4
Aplique isso a
e
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Construir a MGF de
. Usando a propriedade para combinação linear e a independência:
Calcule
:
Portanto
com domínio
(interseção das condições).
Observação: dá para ver um belo cancelamento que simplifica a MGF.
Passo 6
Calcular a média
. Primeiro derive
.
Derivando:
Derivando:
Avalie em
:
Logo
.
Checagem rápida (mais direta, sem MGF):
e
, então
o que confirma o resultado.
Passo 7
Calcular a variância
. Já sabemos
, então basta
.
Continuando a derivação: a partir de
use regra do produto/quotient já aplicada antes; aqui faço passo a passo:
Aplicando a regra do produto:
E
Portanto
Avalie em
:
Como
, segue
Checagem alternativa (mais direta usando independência):
,
. Para
,
o mesmo resultado.