Suponha que um sistema está composto por seis circuitos do tipo A e quatro do tipo B. Seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho 5. Seja X o número de circuitos do tipo A. Determine a função de probabilidade de X quando: Se seleciona sem reposição.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala que a gente tem 6 circuitos do tipo A e 4 do tipo B (total de 10), e vamos escolher 5 deles sem reposição. Definimos X = número de circuitos do tipo A na nossa amostra de 5. O assunto aqui é distribuição hipergeométrica, e para resolver vamos precisar entender combinações ( ) e a fórmula da hipergeométrica.

Passo 2

O que é distribuição hipergeométrica?
Quando você sortea P(X=x) ;=; binomKx,binomN-K,n - x,binomNn itens de uma população de tamanho , em que há “sucessos” (aqui, circuitos A) e “fracassos” (circuitos B), e faz isso sem reposição, a probabilidade de obter exatamente sucessos é
Explicando a fórmula:
  • conta de quantas formas escolho sucessos dentre os .
  • conta de quantas formas escolho fracassos dentre os .
  • é o total de formas de escolher itens de sem distinção.

Passo 3

Agora, plugando os números do nosso problema:
  • P(X=x) ;=; binom6x,binom45 - xbinom105 (total de circuitos),
  • (circuitos A),
  • (tamanho da amostra).
    Então a probabilidade de ter circuitos A na amostra de 5 é

Passo 4

Precisamos ainda dizer para quais valores de isso faz sentido.
  • não pode ser negativo, nem maior que 6 (pois só há 6 A), nem maior que 5 (pois só tiramos 5 itens).
  • Também não dá para ter mais de 4 B na amostra, então .
    Logo o suporte é . (Se você tentar , cai em =0, então a fórmula já zera.)

Resposta

boxedP(X=x) ;=; binom6x,binom45 - xbinom105para x = 1,2,3,4,5

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