Os trabalhos que precisam ser realizados numa determinada máquina chegam de acordo com um processo de Poisson a uma taxa média de 2 por hora. Suponha que a máquina quebre e que seja necessário 1 hora para consertá-la. Qual a probabilidade de que o número de novos trabalhos, que chegarão neste intervalo, seja
dois

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que queremos:
  • Chegadas de trabalhos seguem um processo de Poisson com taxa média de \,2 por hora.
  • A máquina ficará parada por \,1 hora (tempo durante o qual chegam novos trabalhos).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que o número de novos trabalhos que chegam nesse intervalo de \,1 hora seja exatamente \,2?

Passo 2

Agora vamos usar a fórmula que descreve o número de chegadas em um processo de Poisson em um intervalo fixo de tempo. Se \,N é o número de chegadas no intervalo e \,\mu é a média (valor esperado) de chegadas nesse intervalo, então a probabilidade de ocorrer exatamente \,k chegadas é dada por
P(N=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!}.
Explicando os símbolos: \,e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828), \,\mu é a média de chegadas no intervalo considerado, \,k! é o fatorial de \,k (por exemplo \,2! = 2\cdot1 = 2) e \,k é o número de chegadas que queremos (aqui \,k=2).

Passo 3

Calculemos a média \,\mu de chegadas no intervalo de \,1 hora. A taxa é \,\lambda=2 chegadas por hora e o intervalo tem duração \,t=1 hora, portanto
\mu=\lambda t = 2 \times 1 = 2.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da distribuição de Poisson para \,k=2 e \,\mu=2:
P(N=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}.
Calculemos passo a passo: \,2^{2}=4 e \,2!=2, então
P(N=2)=e^{-2}\frac{4}{2}=2e^{-2}.

Passo 5

Vamos obter uma aproximação numérica para uso prático. Sabendo que \,e^{-2}\approx0,135335, multiplicando por \,2 temos
P(N=2)=2e^{-2}\approx0,270671\approx0,2707\quad(\text{arredondando a 4 casas decimais}).

Resposta

\,2e^{-2}\approx0,2707

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