Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a proxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:15 horas?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa bem específica:
  • Chegou um cliente exatamente às 08{:}00.
  • Os tempos entre chegadas seguem uma distribuição exponencial com média de 20 minutos.
  • Os tempos de serviço têm distribuição exponencial com médias 30 e 15 minutos para os dois servidores (essa informação está no enunciado).
  • Foi observado que nenhum outro cliente chegou antes das 09{:}30.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a próxima chegada (ou seja, o primeiro cliente após 08{:}00) ocorra entre 09{:}30 e 10{:}15 horas, dadas as informações acima?
Observação: listei todas as informações dadas e a pergunta pedida. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos traduzir os dados do enunciado em notação e números que usaremos:
  • “Média de 20 minutos” para o tempo entre chegadas significa que, se chamarmos o tempo entre chegadas de T, então \mathbb{E}[T]=20 minutos.
  • Para a distribuição exponencial, a média se relaciona com a taxa \lambda por \mathbb{E}[T]=1/\lambda. Logo
\lambda = \frac{1}{20}\\ \text{(por minuto)}.
  • Em valor decimal, \lambda = 0{,}05\\ \text{min}^{-1}.
(Anota aí: estamos medindo tudo em minutos.)

Passo 3

Relembre uma propriedade fundamental da distribuição exponencial — a propriedade de falta de memória (memoryless):
  • Se T é exponencial com parâmetro \lambda, então para quaisquer s\ge0 e t\ge0 vale
P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t).
  • Isso significa, em palavras simples: se já se passou tempo s sem nenhuma chegada, a distribuição do tempo adicional até a próxima chegada não depende do que já passou — é como se o processo “recomeçasse” naquele instante.
Uma consequência útil é:
P(s<T\le s+t\mid T>s)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.
Ou seja, dado que não houve chegada até o instante s, a probabilidade de a próxima chegada ocorrer nos próximos t minutos é exatamente a mesma que a probabilidade de uma chegada ocorrer em t minutos a partir do tempo zero.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
  • Até 09{:}30 nada chegou. Do instante 09{:}30 ao 10{:}15 45 minutos.
  • Pelo memoryless, a probabilidade condicionada pedida é a probabilidade de ocorrer pelo menos uma chegada em t=45 minutos a partir de 09{:}30, ou seja
P(\text{próxima chegada em }(09{:}30,10{:}15]\mid \text{nenhuma antes de }09{:}30)=1-e^{-\lambda\cdot 45}.ó
  • Substituindo \lambda=0{,}05:
1-e^{-0{,}05\cdot 45}=1-e^{-2{,}25}.
  • Calculando numericamente: e^{-2{,}25}\approx 0{,}105399, portanto
1-e^{-2{,}25}\approx 0{,}894601.
Nota didática rápida e importante: as informações sobre os tempos de serviço e o número de servidores não entram neste cálculo porque estamos perguntando sobre o processo de chegadas, que é independente do mecanismo de serviço. Assim, só a taxa de chegadas importa aqui.

Passo 5

Conclusão final (arredondando de forma prática para prova): a probabilidade pedida é 1-e^{-2{,}25}, que é aproximadamente 0{,}8946. Vai dar bastante chance — faz sentido: a média entre chegadas é 20 minutos, então em 45 minutos é bem provável que ocorra uma chegada.

Resposta

1-e^{-2{,}25}\n 0{,}8946

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