Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a proxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:15 horas?
Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a proxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:15 horas?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa bem específica:
- Chegou um cliente exatamente às
. - Os tempos entre chegadas seguem uma distribuição exponencial com média de
minutos. - Os tempos de serviço têm distribuição exponencial com médias
e minutos para os dois servidores (essa informação está no enunciado). - Foi observado que nenhum outro cliente chegou antes das
. - Pergunta: qual a probabilidade de que a próxima chegada (ou seja, o primeiro cliente após
) ocorra entre e horas, dadas as informações acima?
Observação: listei todas as informações dadas e a pergunta pedida. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos traduzir os dados do enunciado em notação e números que usaremos:
- “Média de
minutos” para o tempo entre chegadas significa que, se chamarmos o tempo entre chegadas de , então minutos. - Para a distribuição exponencial, a média se relaciona com a taxa
por . Logo
- Em valor decimal,
.
(Anota aí: estamos medindo tudo em minutos.)
Passo 3
Relembre uma propriedade fundamental da distribuição exponencial — a propriedade de falta de memória (memoryless):
- Se
é exponencial com parâmetro , então para quaisquer e vale
- Isso significa, em palavras simples: se já se passou tempo
sem nenhuma chegada, a distribuição do tempo adicional até a próxima chegada não depende do que já passou — é como se o processo “recomeçasse” naquele instante.
Uma consequência útil é:
Ou seja, dado que não houve chegada até o instante
, a probabilidade de a próxima chegada ocorrer nos próximos
minutos é exatamente a mesma que a probabilidade de uma chegada ocorrer em
minutos a partir do tempo zero.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema:
- Até
nada chegou. Do instante ao há minutos. - Pelo memoryless, a probabilidade condicionada pedida é a probabilidade de ocorrer pelo menos uma chegada em
minutos a partir de , ou seja
- Substituindo
:
- Calculando numericamente:
, portanto
Nota didática rápida e importante: as informações sobre os tempos de serviço e o número de servidores não entram neste cálculo porque estamos perguntando sobre o processo de chegadas, que é independente do mecanismo de serviço. Assim, só a taxa de chegadas importa aqui.
Passo 5
Conclusão final (arredondando de forma prática para prova): a probabilidade pedida é
, que é aproximadamente
. Vai dar bastante chance — faz sentido: a média entre chegadas é
minutos, então em
minutos é bem provável que ocorra uma chegada.