Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Qual a probabilidade de que o número de chegadas entre 08:15 e 09:30 horas seja trés ou mais?

Passo 1

O enunciado pede: qual a probabilidade de que o número de chegadas entre \,08{:}15 e \,09{:}30 seja três ou mais?\n
Informações dadas:
  • Os tempos entre chegadas seguem distribuição exponencial com média \,20 minutos.\n
  • Foi informado que acabou de chegar um cliente às \,08{:}00 (devemos anotar isso; mais tarde veremos se altera algo).\n
  • O intervalo de interesse é de \,08{:}15 até \,09{:}30, ou seja, \,75 minutos.

Passo 2

Por que podemos modelar o número de chegadas nesse intervalo com uma distribuição específica? Explicação didática: quando os tempos entre chegadas são independentes e seguem distribuição exponencial com mesma média, o processo de chegadas correspondente tem incrementos independentes e o número de chegadas em qualquer intervalo de tempo segue uma distribuição de Poisson. Isso é útil porque transforma o problema de somar tempos exponenciais em um problema de contagem com uma fórmula fácil.\n
Conclusão prática: o número de chegadas no intervalo desejado tem distribuição de Poisson com parâmetro \mu=\lambda t, onde \lambda é a taxa média de chegadas por unidade de tempo e t é a duração do intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a taxa \lambda e o tempo t no mesmo sistema de unidades.\n
  • A média do tempo entre chegadas é \,20 minutos, então a taxa de chegadas por hora é
\lambda = \frac{60}{20} = 3\\ \text{(chegadas por hora)}.
  • A duração do intervalo de \,08{:}15 a \,09{:}30 é \,75 minutos, que em horas é
t = \frac{75}{60} = 1,25\\ \text{horas}.
  • Logo o parâmetro da Poisson é
\mu=\lambda t = 3 \times 1,25 = 3,75.
Observação sobre a chegada às \,08{:}00: para um processo com incrementos independentes (como aqui), saber que houve uma chegada às \,08{:}00 não altera a distribuição do número de chegadas no intervalo \,08{:}15 \,09{:}30; os contadores em intervalos disjuntos são independentes.

Passo 4

Escrevemos a fórmula da distribuição de Poisson e a probabilidade que queremos.\n
A probabilidade de k chegadas num intervalo com média \mu é
P(N=k)=\mathrm e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!}.
Queremos P(N\ge 3). É mais fácil calcular pelo complementar:
P(N\ge 3) = 1 - P(N\le 2) = 1 - \big(P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)\big).

Passo 5

Calculemos cada termo com \mu=3,75.\n
  • P(N=0)=\mathrm e^{-3,75}.\n
  • P(N=1)=\mathrm e^{-3,75}\frac{3,75^{1}}{1!}=3,75\,\mathrm e^{-3,75}.\n - \(P(N=2)=\mathrm e^{-3,75}\frac{3,75^{2}}{2!}=\mathrm e^{-3,75}\frac{14,0625}{2}=\mathrm e^{-3,75}\times 7,03125.\n Agora avaliamos numericamente \(\mathrm e^{-3,75}. Uma aproximação razoável é
\mathrm e^{-3,75}\approx 0,0235178.
Multiplicando:
P(N=0)\approx 0,0235178,
P(N=1)\approx 3,75\times 0,0235178 \approx 0,0881916,
P(N=2)\approx 7,03125\times 0,0235178 \approx 0,1653591.)

Passo 6

Somamos os três primeiros termos e subtraímos de 1:
P(N\le 2)\approx 0,0235178+0,0881916+0,1653591=0,2770685.
Portanto
P(N\ge 3)=1-0,2770685\approx 0,7229315.
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais, a probabilidade é aproximadamente \,0,7229.

Resposta

0,7229

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