Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Qual a probabilidade de que o número de chegadas entre 08:15 e 09:30 horas seja trés ou mais?
Qual a probabilidade de que o número de chegadas entre 08:15 e 09:30 horas seja trés ou mais?
Passo 1
O enunciado pede: qual a probabilidade de que o número de chegadas entre
e
seja três ou mais?\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os tempos entre chegadas seguem distribuição exponencial com média
minutos.\n - Foi informado que acabou de chegar um cliente às
(devemos anotar isso; mais tarde veremos se altera algo).\n - O intervalo de interesse é de
até , ou seja, minutos.
Passo 2
Por que podemos modelar o número de chegadas nesse intervalo com uma distribuição específica? Explicação didática: quando os tempos entre chegadas são independentes e seguem distribuição exponencial com mesma média, o processo de chegadas correspondente tem incrementos independentes e o número de chegadas em qualquer intervalo de tempo segue uma distribuição de Poisson. Isso é útil porque transforma o problema de somar tempos exponenciais em um problema de contagem com uma fórmula fácil.\n
Conclusão prática: o número de chegadas no intervalo desejado tem distribuição de Poisson com parâmetro , onde
é a taxa média de chegadas por unidade de tempo e
é a duração do intervalo.
Conclusão prática: o número de chegadas no intervalo desejado tem distribuição de Poisson com parâmetro
Passo 3
Vamos calcular a taxa
e o tempo
no mesmo sistema de unidades.\n
- A média do tempo entre chegadas é
minutos, então a taxa de chegadas por hora é
- A duração do intervalo de
a é minutos, que em horas é
- Logo o parâmetro da Poisson é
Observação sobre a chegada às
: para um processo com incrementos independentes (como aqui), saber que houve uma chegada às
não altera a distribuição do número de chegadas no intervalo
–
; os contadores em intervalos disjuntos são independentes.
Passo 4
Escrevemos a fórmula da distribuição de Poisson e a probabilidade que queremos.\n
A probabilidade de chegadas num intervalo com média
é
A probabilidade de
Queremos
. É mais fácil calcular pelo complementar:
Passo 5
Calculemos cada termo com
.\n
-
.\n - . Uma aproximação razoável é
Multiplicando:
Passo 6
Somamos os três primeiros termos e subtraímos de 1:
Portanto
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais, a probabilidade é aproximadamente
.