Suponha que as superfícies do problema 1 ofereçam atrito com coeficiente de atrito cinético
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a) Encontre a velocidade do bloco quando ele chega à rampa
b) Encontre a altura atingida pela bloco ao subir a rampa até ficar momentaneamente em repouso.
a) Encontre a velocidade do bloco quando ele chega à rampa
b) Encontre a altura atingida pela bloco ao subir a rampa até ficar momentaneamente em repouso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A ideia é resolver um problema de energia com atrito: um bloco parte do repouso lá em cima (altura H) desliza por uma rampa de ângulo α até o pé, e em seguida sobe outra rampa de ângulo β até parar. Agora entram os coeficientes de atrito cinético μc=0,3 em ambas as superfícies.
Conteúdo: Teorema da energia cinética (ou energia e trabalho), somando o trabalho da gravidade e o trabalho das forças de atrito.
O que precisamos:
Conteúdo: Teorema da energia cinética (ou energia e trabalho), somando o trabalho da gravidade e o trabalho das forças de atrito.
O que precisamos:
- Relação entre altura H e deslocamento L na rampa: H=L sinα;
- Força de atrito: F_at = μc·N = μc·m·g·cosα;
- Teorema da energia: W_g + W_atrito = ΔK.
Passo 2
(a) Velocidade ao chegar ao pé da rampa
- Trabalho da gravidade ao descer: W_g = +m·g·H
- Trabalho da força de atrito no trecho de descida (comprimento L = H/ sinα):
W_f = –F_at·L = –μc·m·g·cosα·(H/ sinα) = –μc·m·g·H·cotα - Teorema da energia (parte inicial K_i=0, final K_f = ½ m v²):
m g H + (–μc m g H cotα) = ½ m v²
⇒ ½ m v² = m g H (1 – μc cotα)
⇒ v² = 2 g H (1 – μc cotα)
⇒ v = √[2 g H (1 – μc cotα)]
Passo 3
(b) Altura máxima h′ na segunda rampa até parar
-
Energia cinética inicial na base: K_i = ½ m v² (já achamos v²)
-
Trabalho da gravidade subindo h′: W_g = –m g h′
-
Atrito no trecho de subida (comprimento L′ = h′/ sinβ):
W_f′ = –μc·m·g·cosβ·(h′/ sinβ) = –μc·m·g·h′·cotβ -
Teorema da energia (K_f=0 no ponto de repouso):
½ m v² + (–m g h′) + (–μc m g h′ cotβ) = 0
⇒ ½ m v² = m g h′ (1 + μc cotβ)
⇒ h′ = [½ v²] / [g (1 + μc cotβ)] -
Substitui v² de cima:
h′ = [2 g H (1 – μc cotα)/2] / [g (1 + μc cotβ)]
= H·(1 – μc cotα) / (1 + μc cotβ)
Resposta
a) v = √[2 g H (1 – μc cotα)]
b) h′ = H·(1 – μc cotα) / (1 + μc cotβ)
b) h′ = H·(1 – μc cotα) / (1 + μc cotβ)