(Receita Federal / ESAF (adaptado)) Em uma empresa, existem dois setores: Setor A e Setor B. A probabilidade de um projeto ser iniciado no Setor A é 0,6 e no Setor B é 0,4 . Sabe-se que:
  • P( atraso \mid A)=0,2
  • P( atraso \mid B)=0,5
Considere os seguintes eventos:
  • A: projeto iniciado no Setor A
  • B: projeto iniciado no Setor B
  • D: projeto com atraso
    (a) Qual é a probabilidade de um projeto apresentar atraso?
    (b) Sabendo que um projeto não teve atraso, qual a probabilidade de ele ter sido iniciado no Setor A?
    (c) Utilize as Leis de De Morgan para expressar o evento complementar de A \cup D e interprete-o no contexto do problema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (peguei esses números do enunciado):
  • P(A)=0,6.
  • P(B)=0,4.
  • P(\text{atraso}\mid A)=P(D\mid A)=0,2.
  • P(\text{atraso}\mid B)=P(D\mid B)=0,5.
Eventos definidos:
  • A: projeto iniciado no Setor A.
  • B: projeto iniciado no Setor B.
  • D: projeto com atraso.
  • D^c: projeto sem atraso.
  • A^c: projeto não iniciado no Setor A (como existem só dois setores, A^c corresponde a ter sido iniciado no Setor B).
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Calcular a probabilidade de um projeto apresentar atraso, isto é P(D).
(b) Calcular P(A\mid D^c): a probabilidade de ter sido iniciado no Setor A sabendo que não houve atraso.
(c) Usar as Leis de De Morgan para expressar o complementar de A\cup D e interpretar no contexto.

Passo 2

(a) Vou calcular P(D) usando a Lei da Probabilidade Total. Explico rapidinho o que é essa lei: se temos uma partição do espaço amostral pelos eventos A e B (aqui todo projeto sai ou do setor A ou do setor B), então a probabilidade de D pode ser escrita como soma das probabilidades condicionais ponderadas:
P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid B)P(B).
Nessa fórmula:
  • P(D\mid A) é a chance de atraso dado que o projeto saiu do setor A.
  • P(A) é a probabilidade de um projeto sair do setor A.
  • Analogamente para o termo com B.

Passo 3

Agora substituo os valores e calculo passo a passo:
P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid B)P(B)=0,2\cdot 0,6 + 0,5\cdot 0,4.
Calculo cada produto:
0,2\cdot 0,6 = 0,12, \qquad 0,5\cdot 0,4 = 0,20.
Somando:
P(D)=0,12+0,20=0,32.
Logo a probabilidade de atraso é \,0,32 (ou 32\%).

Passo 4

(b) Queremos P(A\mid D^c). Uso a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid D^c)=\frac{P(A\cap D^c)}{P(D^c)}.
Explico os termos:
  • P(A\cap D^c) é a probabilidade de o projeto ter sido iniciado no A e não ter atrasado.
  • P(D^c)=1-P(D) é a probabilidade de não ter atraso.
Posso escrever P(A\cap D^c)=P(A)\,P(D^c\mid A). E P(D^c\mid A)=1-P(D\mid A). Então:
P(A\cap D^c)=P(A)\bigl(1-P(D\mid A)\bigr)=0,6\cdot(1-0,2)=0,6\cdot 0,8=0,48.

Passo 5

Calculo o denominador P(D^c):
P(D^c)=1-P(D)=1-0,32=0,68.
Agora substituo na fórmula de condicional:
P(A\mid D^c)=\frac{0,48}{0,68}.
Simplifico a fração: \dfrac{0,48}{0,68}=\dfrac{48}{68}=\dfrac{12}{17}. Em forma decimal aproximada:
P(A\mid D^c)=\dfrac{12}{17}\approx 0,7059.
Interpretação intuitiva: sabendo que não houve atraso, a chance de o projeto ter vindo de A aumenta em relação a P(A)=0,6, porque A tem taxa de atraso menor.

Passo 6

(c) Aplicando as Leis de De Morgan: o complementar da união é a interseção dos complementares. Em notação:
(A\cup D)^c = A^c\cap D^c.
Interpretação no contexto (sem matemática adicional): esse evento significa “o projeto não foi iniciado no Setor A e também não teve atraso”. Como só há dois setores, isso equivale a “o projeto foi iniciado no Setor B e não teve atraso”.
Opcional (curiosidade prática): a probabilidade desse evento é
P(B\cap D^c)=P(B)\,P(D^c\mid B)=0,4\cdot(1-0,5)=0,4\cdot 0,5=0,20.

Resposta

(a) P(D)=0,32
(b) P(A\mid D^c)=\dfrac{12}{17}\approx 0,7059
(c) (A\cup D)^c = A^c \cap D^c. Interpretação: projeto iniciado no Setor B e sem atraso.

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