(Receita Federal / ESAF (adaptado)) Em uma empresa, existem dois setores: Setor A e Setor B. A probabilidade de um projeto ser iniciado no Setor A é 0,6 e no Setor B é 0,4 . Sabe-se que:
-
atraso
-
atraso
Considere os seguintes eventos:
- A: projeto iniciado no Setor A
- B: projeto iniciado no Setor B
- D: projeto com atraso
(a) Qual é a probabilidade de um projeto apresentar atraso?
(b) Sabendo que um projeto não teve atraso, qual a probabilidade de ele ter sido iniciado no Setor A?
(c) Utilize as Leis de De Morgan para expressar o evento complementar de
e interprete-o no contexto do problema.
(a) Qual é a probabilidade de um projeto apresentar atraso?
(b) Sabendo que um projeto não teve atraso, qual a probabilidade de ele ter sido iniciado no Setor A?
(c) Utilize as Leis de De Morgan para expressar o evento complementar de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (peguei esses números do enunciado):
-
. -
. -
. -
.
Eventos definidos:
-
: projeto iniciado no Setor A. -
: projeto iniciado no Setor B. -
: projeto com atraso. -
: projeto sem atraso. -
: projeto não iniciado no Setor A (como existem só dois setores, corresponde a ter sido iniciado no Setor B).
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Calcular a probabilidade de um projeto apresentar atraso, isto é .
(b) Calcular : a probabilidade de ter sido iniciado no Setor A sabendo que não houve atraso.
(c) Usar as Leis de De Morgan para expressar o complementar de e interpretar no contexto.
(a) Calcular a probabilidade de um projeto apresentar atraso, isto é
(b) Calcular
(c) Usar as Leis de De Morgan para expressar o complementar de
Passo 2
(a) Vou calcular
usando a Lei da Probabilidade Total. Explico rapidinho o que é essa lei: se temos uma partição do espaço amostral pelos eventos
e
(aqui todo projeto sai ou do setor A ou do setor B), então a probabilidade de
pode ser escrita como soma das probabilidades condicionais ponderadas:
Nessa fórmula:
-
é a chance de atraso dado que o projeto saiu do setor . -
é a probabilidade de um projeto sair do setor . - Analogamente para o termo com
.
Passo 3
Agora substituo os valores e calculo passo a passo:
Calculo cada produto:
Somando:
Logo a probabilidade de atraso é
(ou
).
Passo 4
(b) Queremos
. Uso a definição de probabilidade condicional:
Explico os termos:
-
é a probabilidade de o projeto ter sido iniciado no e não ter atrasado. -
é a probabilidade de não ter atraso.
Posso escrever
. E
. Então:
Passo 5
Calculo o denominador
:
Agora substituo na fórmula de condicional:
Simplifico a fração:
. Em forma decimal aproximada:
Interpretação intuitiva: sabendo que não houve atraso, a chance de o projeto ter vindo de
aumenta em relação a
, porque
tem taxa de atraso menor.
Passo 6
(c) Aplicando as Leis de De Morgan: o complementar da união é a interseção dos complementares. Em notação:
Interpretação no contexto (sem matemática adicional): esse evento significa “o projeto não foi iniciado no Setor A e também não teve atraso”. Como só há dois setores, isso equivale a “o projeto foi iniciado no Setor B e não teve atraso”.
Opcional (curiosidade prática): a probabilidade desse evento é
Resposta
(a)
(b)
(c)
. Interpretação: projeto iniciado no Setor B e sem atraso.