Suponha que T>0 e considere f:[0, T2] R.
i) Define-se extensão par de f, de período T>0, e escreve-se fe, como sendo a extensão T-periódica da função f dada por
fe(t)=lc f(t), & 0 <= t <= T2 f(-t), & -T2
A série de co-sinos de f é, por definição, a série de Fourier de fe.
ii) Define-se extensão ímpar de f, de período T>0, e escreve-se fo, como sendo a extensão T-periódica da função f dada por
fo(t)=lc f(t), & 0
A série de sinos de f é, por definição, a série de Fourier de fo.
Determine a série de Fourier associada à extensão par de f(t)=sin (t), t in[0, pi], ao intervalo [-pi, pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função $ f(t) = \sin(t) $ definida no intervalo f(t) = sin(t) . A gente quer encontrar a série de Fourier dessa função quando estendida de forma par para todo o intervalo [0, pi]. Isso envolve usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de cossenos, já que estamos lidando com uma extensão par.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para uma função par estendida em [- pi, pi], a série de Fourier será composta apenas por termos de cossenos. A fórmula geral da série de Fourier de uma função par é:
f(t) = a02 + sumn=1^infty an cos(nt)
Onde os coeficientes an são calculados por:
an = 2pi integral0^pi f(t) cos(nt) , dt
Primeiro, vamos calcular a0:
a0 = 2pi integral0^pi sin(t) , dt = 2pi [-cos(t)]0^pi = 2pi [-cos(pi) + cos(0)] = 2pi ( -(-1) + 1 ) = 4pi
Agora, vamos calcular an:
an = 2pi integral0^pi sin(t) cos(nt) , dt
Usamos a identidade trigonométrica:
sin(t) cos(nt) = 12 [sin((n+1)t) + sin((1-n)t)]
Então:
an = 2pi cdot 12 [ integral0^pi sin((n+1)t) , dt + integral0^pi sin((1-n)t) , dt ]
Calculando as integrais:
integral0^pi sin(kt) , dt = [-cos(kt)k]0^pi = -cos(kpi)k + cos(0)k = 1 - cos(kpi)k
Aplicando isso em an:
an = 1pi [ 1 - cos((n+1)pi)n+1 + 1 - cos((1-n)pi)1-n ]
Observando que cos((n+1)pi) = (-1)^n+1 e cos((1-n)pi) = (-1)^1-n, simplificamos:
an = 1pi [ 1 - (-1)^n+1n+1 + 1 - (-1)^1-n1-n ]
Note que $ (-1)^{1-n} = (-1)^{1} \cdot (-1)^{-n} = -(-1)^n $. Então:
(-1)^1-n = (-1)^1 cdot (-1)^-n = -(-1)^n
Simplificando a fração:
an = 1pi [ 1 + (-1)^nn+1 + 1 + (-1)^n1-n ] = 1 + (-1)^npi [ 1n+1 + 11-n ]
Então,
1n+1 + 11-n = 1(1 - n) + 1(n + 1)(n+1)(1 - n) = 1 - n + n + 1-(n+1)^2 = 2-(n^2 - 1) = -2n^2 - 1

Passo 3

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da extensão par de $ f(t) = \sin(t) $ no intervalo f(t) = sin(t) é:
[- pi, pi]

Resposta

A série de Fourier associada é dada por
f(t) = 2pi + sumn=1^infty ( -2(1 + (-1)^n)pi(n^2 - 1) ) cos(nt)

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