Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime prime-y=2 e^x onde y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO y''-y=2e^x com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 usando séries de potências. O conteúdo envolve EDO não-homogênea e expansão em série de potências para y(x) e para e^x.

Passo 2

Suponha a solução em série de potências
y(x)=sumn=0^infty anx^n
Então
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
e
2e^x=2sumn=0^inftyx^nn!
Substituindo na EDO e alinhando as séries:

Passo 3

sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-anr]x^n=sumn=0^infty2n!x^n
Igualando coeficientes para cada n>=0:
(n+2)(n+1)an+2-an=2n!,
logo
an+2=an+tfrac2n!(n+2)(n+1)

Passo 4

Pelas condições iniciais temos a0=y(0)=0 e a1=y'(0)=1. Calculando alguns termos:
a2=a0+2/0!2cdot1=1, a3=a1+2/1!3cdot2=tfrac12, a4=a2+2/2!4cdot3=tfrac16,
percebemos que, para n>=1,
an=1(n-1)!

Passo 5

Como a0=0 e para n>=1 an=1/(n-1)!, a série é
y(x)=sumn=1^inftyx^n(n-1)!=xsumk=0^inftyx^kk!=x e^x

Resposta

y(x)=x e^x

Exercícios relacionados