Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime prime+y=x onde y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial y''+y=x com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 usando séries de potências. Vamos precisar da definição de série de potências, derivada termo a termo e comparação de coeficientes.

Passo 2

Assumimos a solução como série de potências
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Derivando duas vezes termo a termo, obtemos
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituímos na equação y''+y=x e escrevemos o termo x como série de potências
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2+anr]x^n=sumn=0^infty bnx^n,
em que b0=0, b1=1 e bn=0 para n>=2. Igualando coeficientes, temos
an+2=bn - an(n+2)(n+1)

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais: y(0)=a0=0 e y'(0)=a1=1. Para n=0:
a2=b0 - a02cdot1=0
Para n=1:
a3=b1 - a13cdot2=0
E para n>=2 temos bn=0 e an+2=-an/[(n+2)(n+1)], o que gera todos os an=0 para n>=2.

Passo 5

Concluímos que a única contribuição não nula é a1=1, logo
y(x)=a1x=x

Resposta

y(x)=x

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