Suponha que T graus seja a temperatura em qualquer ponto ( x, y, z ) da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \mathrm{e} T=x y^{2} z. Utilizando o método dos Multiplicadores de Lagrange, ache os pontos da esfera onde a temperatura é máxima e os pontos onde ela é menor. Forneça a temperatura nestes pontos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informação dada:
A temperatura em qualquer ponto (x,y,z) da esfera é dada por T=x y^{2} z.
A esfera é \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; (raio 2).
O que o enunciado pede:
Ache os pontos da esfera onde a temperatura é máxima.
Ache os pontos da esfera onde a temperatura é mínima.
Forneça o valor da temperatura nesses pontos.
Observação: todos os passos de cálculo seguem da equação da esfera e da função T acima.
Passo 2
O método dos multiplicadores de Lagrange — ideia rápida e intuitiva antes de aplicar: para encontrar máximos/minimos de uma função f(x,y,z) sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0 (a esfera aqui), procuramos pontos onde o gradiente de f é proporcional ao gradiente de g. Ou seja, existem \lambda tais que \nabla f=\lambda \nabla g. Isso significa que, na superfície restrita, não dá para aumentar ou diminuir f infinitesimalmente sem sair da superfície.
Aplicando ao nosso problema:
Definir a função a otimizar (temperatura):f(x,y,z)=x y^{2} z.
Definir a restrição:g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.
Agora calculamos os gradientes (cada componente é derivada parcial):
Essas dão \lambda x=0 e \lambda z=0. A restrição vira x^{2}+z^{2}=4, ou seja, qualquer ponto na interseção da esfera com o plano y=0 (um círculo) atende as equações com \lambda=0. Portanto toda a circunferência
\{(x,0,z)\mid x^{2}+z^{2}=4\}
é conjunto de pontos críticos com T=0.
Além disso, se y\neq0 mas x=0 ou z=0 pode surgir pontos particulares, que trataremos no Caso II abaixo.
Conclusão do Caso I: pontos com y=0 são críticos e têm temperatura T=0. Esses não serão máximos/mínimos globais se encontrarmos valores maiores e menores que 0.
Passo 4
Caso II: y\neq0. Então podemos dividir a segunda equação por 2y. Da segunda equação temos:
2xyz = 2\lambda y \quad\Longrightarrow\quad xz=\lambda.
Substituindo \lambda = xz nas outras duas equações obtemos:
Primeira equação:
y^{2}z = 2\lambda x = 2(xz)x = 2x^{2}z.
Se z\neq0 podemos dividir por z, ficando
y^{2} = 2x^{2}. \qquad (A)
Terceira equação:
x y^{2} = 2\lambda z = 2(xz)z = 2xz^{2}.
Se x\neq0 podemos dividir por x, ficando
y^{2} = 2z^{2}. \qquad (B)
Das igualdades (A) e (B) temos 2x^{2}=2z^{2}, ou seja
x^{2}=z^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm x.
Usando y^{2}=2x^{2} (ou =2z^{2}) e a restrição da esfera:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+2x^{2}+x^{2}=4x^{2}=4.
Logo
x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 1.
Então z=\pm x implica z=\pm 1 com o mesmo valor absoluto; e
Assim obtemos pontos candidatos (todos satisfazem y\neq0 e x,z\neq0):
Se z=x (mesmo sinal), então (x,z)=(1,1) ou (-1,-1) e y=\pm\sqrt{2}. Nesses pontos:
T = x y^{2} z = x\cdot 2 \cdot z = 2 x z = 2(1\cdot 1)=2
ou para (-1,-1): 2(-1)(-1)=2. Logo T=2.
Se z=-x (sinais opostos), então (x,z)=(1,-1) ou (-1,1) e y=\pm\sqrt{2}. Nesses pontos:
T = 2 x z = 2(1\cdot(-1))=-2
ou 2(-1\cdot 1)=-2. Logo T=-2.
Contagem final desses pontos:
Pontos com T=2: (1,\pm\sqrt{2},1) e (-1,\pm\sqrt{2},-1) — total de 4 pontos.
Pontos com T=-2: (1,\pm\sqrt{2},-1) e (-1,\pm\sqrt{2},1) — total de 4 pontos.
Passo 5
Verificação e conclusão sobre máximos e mínimos globais.
A esfera é um conjunto compacto e f(x,y,z)=x y^{2} z é contínua, logo f atinge máximo e mínimo globais no conjunto de pontos críticos que encontramos.
Valores críticos encontrados: T=2,\;T=-2,\;T=0 (o conjunto com T=0 inclui a circunferência y=0 e os pontos (0,\pm2,0) já mencionados).
Evidentemente 2 é o maior desses valores e -2 é o menor. Portanto são, respectivamente, o máximo e o mínimo globais.
Interpretação geométrica rápida (para sentir): a função tem fator y^{2}\ge0, então o sinal de T é dado pelo sinal de x z. Para maximizar em valor absoluto queremos y^{2} grande (aqui y^{2}=2) e |x z| grande, sob a restrição da esfera — isso leva ao que encontramos.
Resposta
Pontos de máximo (temperatura T=2): (1,\sqrt{2},1), (1,-\sqrt{2},1), (-1,\sqrt{2},-1), (-1,-\sqrt{2},-1) com T=2.
Pontos de mínimo (temperatura T=-2): (1,\sqrt{2},-1), (1,-\sqrt{2},-1), (-1,\sqrt{2},1), (-1,-\sqrt{2},1) com T=-2.