Suponha que T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}) é linear e T(1,0)=(1,4) e T(1,1)=(2,5). Determine T(2,3).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T:V_{2}(\mathbb{R})\to V_{2}(\mathbb{R}) e dá
T(1,0)=(1,4) e T(1,1)=(2,5). Queremos encontrar T(2,3). Para isso, vamos usar a propriedade de linearidade, escrevendo (2,3) como combinação linear de (1,0) e (1,1).

Passo 2

Procuramos escalares a e b tais que
a(1,0)+b(1,1)=(2,3)
Isso gera o sistema
(a+b,b)=(2,3)
Da segunda coordenada obtemos b=3 e, da primeira, a+b=2\Rightarrow a=2-3=-1.

Passo 3

Pela linearidade de T,
T(2,3) =T\bigl(a(1,0)+b(1,1)\bigr) =a\,T(1,0)+b\,T(1,1) =-1\cdot(1,4)+3\cdot(2,5).
Calculando separadamente:
-1\cdot(1,4)=(-1,-4), \quad 3\cdot(2,5)=(6,15).
Somando os vetores:
T(2,3)=(-1,-4)+(6,15)=(5,11)

Resposta

T(2,3)=(5,11)

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