Seja P(\mathbb{R}) os espaço vetorial dos polinômios em \mathbb{R} com as operações usuais de soma e multiplicação por número real. Verifique quais das transformações a seguir são lineares.
T: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}), T(p(x))=p\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial P(\mathbb{R}) de polinômios em \mathbb{R} e define
T: P(\mathbb{R}) \to P(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p\bigl(x^2\bigr).
Precisamos verificar se T satisfaz as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade).

Passo 2

Aditividade exige que, para quaisquer p,q\in P(\mathbb{R}),
T(p+q)=T(p)+T(q).
Calculamos
T(p+q)=(p+q)(x^2)=p(x^2)+q(x^2)=T(p)+T(q).

Passo 3

Homogeneidade exige que, para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e p\in P(\mathbb{R}),
T(c\,p)=c\,T(p).
De fato,
T(c\,p)=(c\,p)(x^2)=c\,p(x^2)=c\,T(p).

Passo 4

Como T preserva soma e multiplicação escalar, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T(p(x))=p(x^2) é linear.

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