Seja
os espaço vetorial dos polinômios em
com as operações usuais de soma e multiplicação por número real. Verifique quais das transformações a seguir são lineares.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de polinômios em
e define
Precisamos verificar se
satisfaz as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade).
Passo 2
Aditividade exige que, para quaisquer
,
Calculamos
Passo 3
Homogeneidade exige que, para qualquer escalar
e
,
De fato,
Passo 4
Como
preserva soma e multiplicação escalar, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.