Seja P(\mathbb{R}) os espaço vetorial dos polinômios em \mathbb{R} com as operações usuais de soma e multiplicação por número real. Verifique quais das transformações a seguir são lineares.
T: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}), T(p(x))=p^{\prime \prime}(x)-2 p^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado define a transformação
T\colon P(\mathbb{R}) \to P(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p''(x)-2\,p'(x),
e pede para verificar se T é linear. O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de polinômios, e vamos usar a definição: para todo p,q\in P(\mathbb{R}) e todo \alpha\in\mathbb{R}, deve valer
  1. T(p+q)=T(p)+T(q),
  2. T(\alpha p)=\alpha\,T(p).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Tomando p,q\in P(\mathbb{R}):
T(p+q)=(p+q)''-2\,(p+q)' =p''+q''-2\,(p'+q') =(p''-2p')+(q''-2q') =T(p)+T(q).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para \alpha\in\mathbb{R} e p\in P(\mathbb{R}):
T(\alpha p)=(\alpha p)''-2\,(\alpha p)' =\alpha\,p''-2\,\alpha\,p' =\alpha\,(p''-2p') =\alpha\,T(p).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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