Determine a primitiva de f(x)=e^x+1x, sabendo que x>0.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função $ f(x) = e^{x} + \frac{1}{x} $ e precisamos encontrar uma primitiva dela, ou seja, uma função $ F(x) $ cuja derivada seja $ f(x) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a antiderivação de funções exponenciais e racionais.

Passo 2

Primeiro, observe que $ f(x) $ é a soma de duas funções: $ e^{x} $ e $ \frac{1}{x} $. Sabemos que a integral da soma de funções é igual à soma das integrais de cada função individualmente. Matemáticamente, isso fica:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ e^{x} $. A antiderivada de $ e^{x} $ é ela mesma, porque a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $. Portanto:
e^x
onde $ C_1 $ é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de $ \frac{1}{x} $. Sabemos que a antiderivada de $ \frac{1}{x} $ é o logaritmo natural de $ x $. Então:
1x
Como o exercício especifica que $ x > 0 $, podemos simplificar para:
1x

Resposta

Juntando as duas integrais, a primitiva de $ f(x) = e^{x} + \frac{1}{x} $ é:
f(x) = e^x + 1x
onde $ C $ é a constante geral de integração.

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