Determine a primitiva de
, sabendo que
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função $ f(x) = e^{x} + \frac{1}{x} $ e precisamos encontrar uma primitiva dela, ou seja, uma função $ F(x) $ cuja derivada seja $ f(x) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a antiderivação de funções exponenciais e racionais.
Passo 2
Primeiro, observe que $ f(x) $ é a soma de duas funções: $ e^{x} $ e $ \frac{1}{x} $. Sabemos que a integral da soma de funções é igual à soma das integrais de cada função individualmente. Matemáticamente, isso fica:
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ e^{x} $. A antiderivada de $ e^{x} $ é ela mesma, porque a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $. Portanto:
onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de $ \frac{1}{x} $. Sabemos que a antiderivada de $ \frac{1}{x} $ é o logaritmo natural de $ x $. Então:
Como o exercício especifica que $ x > 0 $, podemos simplificar para:
Resposta
Juntando as duas integrais, a primitiva de $ f(x) = e^{x} + \frac{1}{x} $ é:
onde $ C $ é a constante geral de integração.