Suponha que a taxa de juros que um determinado banco europeu oferece, aos seus clientes, é de 6% ao ano, em regime de juros compostos.
a) Determine o capital acumulado ao fim de 7 anos, por um cliente que depositou 50.000 euros.
b) Quantos anos terá de esperar, o referido cliente, para obter um capital acumulado de 100.000 euros?
c) Qual seria o depósito inicial efetuado por este cliente, para obter 85.000 euros ao fim dos mesmos 7 anos?

Passo 1

O enunciado pede para calcular capitais acumulados e tempos de espera em um regime de juros compostos de 6% ao ano, usando a fórmula do valor futuro e, no caso do tempo, o uso de logaritmos. Vamos usar o conteúdo de juros compostos e propriedades de logaritmos.

Passo 2

Em regime de juros compostos, o valor acumulado ao final de n anos é dado pela fórmula
A = P ,(1 + i)^n
onde:
• A é o montante (valor futuro),
• P é o capital inicial,
• i é a taxa de juros anual (em forma decimal),
• n é o número de períodos (anos).

Passo 3

Para a letra (a), temos P = 50 000 €, i = 0{,}06 e n = 7. Basta substituir na fórmula:
A = 50,000 times (1 + 0,06)^7 = 50,000 times (1,06)^7
Calculando numericamente, encontra-se o valor acumulado.

Passo 4

Na letra (b), queremos achar n de modo que o montante A = 100 000 € seja obtido a partir de P = 50 000 € e i = 0{,}06. Partindo de
100,000 = 50,000 ,(1,06)^n
isola-se (1,06)^n e aplica-se logaritmo:
(1,06)^n = 100,00050,000 = 2
n = ln(2)ln(1,06)
que dá o número de anos necessário.

Passo 5

Na letra ©, queremos P para que, com i = 0{,}06 e n = 7, o montante seja A = 85 000 €. Da fórmula
85,000 = P ,(1,06)^7
vemos que
P = 85,000(1,06)^7
e calculamos esse valor para obter o depósito inicial requerido.

Resposta

a) O capital acumulado é
A = 50,000 times (1,06)^7 approx 50,000 times 1,50363 = 75,181,50,€
b) O tempo necessário é
n = ln(2)ln(1,06) approx 0,69310,0583 approx 11,89 anos
c) O depósito inicial deve ser
P = 85,000(1,06)^7 approx 85,0001,50363 approx 56,548,10,€

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