Um alimento à temperatura é de
é colocado em um congelador que está a
. Uma hora depois, a temperatura do alimento passa a ser de
F. Aplicando a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura T de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura T do objeto e a temperatura Ta do meio ambiente, responda:
Qual é a temperatura do alimento 6 horas após ter sido colocado no congelador?
Qual é a temperatura do alimento 6 horas após ter sido colocado no congelador?
Passo 1
Vamos resumir o que temos e o que vamos precisar: o enunciado diz que um alimento a 70°F é colocado num congelador a 0°F e, após 1 hora, a temperatura cai para 48°F. O conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton e vamos precisar montar a equação diferencial, resolver para a temperatura em função do tempo e ajustar a constante usando o ponto em t=1 h.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura T(t) de um objeto é proporcional à diferença entre T(t) e a temperatura do meio ambiente Ta. Isso dá a equação diferencial:
Como estamos no congelador a Ta=0°F, resolvemos a EDO separável. A solução geral é:
$$
T(t) = T_a + \bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{-k t}$$
Passo 3
Substituindo Ta=0 e T(0)=70, fica:
$$
T(t)=70e^{-k t}$$
Passo 4
Agora usamos o dado em t=1 h: T(1)=48 para achar k. Temos T(1)=70e^{-k}=48, então e^{-k}=48/70=24/35, o que implica k = -\ln\bigl(24/35\bigr)=\ln\bigl(35/24\bigr).
Passo 5
Com k em mãos, a temperatura em t=6 h é T(6)=70e{-6k}=70\bigl(e{-k}\bigr){6}=70\Bigl(\tfrac{24}{35}\Bigr){6}.
Finalmente calculamos numericamente: $ (24/35)^6\approx0.104$, então T(6)\approx70\times0.104\approx7.3,^{\circ}\mathrm{F}. Mantém-se acima de zero porque o decaimento é exponencial.
Finalmente calculamos numericamente: $ (24/35)^6\approx0.104$, então T(6)\approx70\times0.104\approx7.3,^{\circ}\mathrm{F}. Mantém-se acima de zero porque o decaimento é exponencial.
Resposta
A temperatura após 6 horas é aproximadamente 7,3°F.