O rádon-222 é um gás radioativo com uma meia-vida de 3,83 dias. Este gás prejudicial à saúde tende a ficar preso nos porões das casas e o Ministério da Saúde sugere que se fechem os porões para evitar a entrada do gás. Suponha que 5.10^7 átomos de rádon ficam presos em um porão no momento em que ele é selado e que Q(t) é o número de átomos presentes t dias mais tarde. Suponha ainda que a taxa de variação de Q(t) seja proporcional a quantidade presente do rádon-222 em qualquer instante t .
Quantos átomos estarão presentes após 30 dias?

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo do rádon-222 com meia-vida de 3,83 dias. Começamos com Q(0)=5\times10^7 átomos e queremos Q(30) supondo que a taxa de variação é proporcional à quantidade, ou seja, segue decaimento exponencial.

Passo 2

Para modelar isso, usamos a equação diferencial Q'(t)=k,Q(t). A solução geral é Q(t)=Q(0),e^k,t. Aqui k<0 porque é decaimento.

Passo 3

Para encontrar k, usamos a condição da meia-vida: em t1/2=3,83 dias, a quantidade cai à metade. Então

Passo 4

Agora calculamos Q(30) substituindo em Q(t)=5times10^7e^k,t:
Q(30)=5times10^7expl(-0,18098times30r)approx5times10^7,e^-5,4294approx2,20times10^5

Resposta

Aproximadamente 2,2\times10^5 átomos.

Exercícios relacionados