O rádon-222 é um gás radioativo com uma meia-vida de 3,83 dias. Este gás prejudicial à saúde tende a ficar preso nos porões das casas e o Ministério da Saúde sugere que se fechem os porões para evitar a entrada do gás. Suponha que
átomos de rádon ficam presos em um porão no momento em que ele é selado e que
é o número de átomos presentes
dias mais tarde. Suponha ainda que a taxa de variação de
seja proporcional a quantidade presente do rádon-222 em qualquer instante t .
Quantos átomos estarão presentes após 30 dias?
Quantos átomos estarão presentes após 30 dias?
Passo 1
O enunciado trata de decaimento radioativo do rádon-222 com meia-vida de 3,83 dias. Começamos com Q(0)=5\times10^7 átomos e queremos Q(30) supondo que a taxa de variação é proporcional à quantidade, ou seja, segue decaimento exponencial.
Passo 2
Para modelar isso, usamos a equação diferencial
. A solução geral é
. Aqui
porque é decaimento.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a condição da meia-vida: em
dias, a quantidade cai à metade. Então
Passo 4
Agora calculamos
substituindo em
:
Resposta
Aproximadamente 2,2\times10^5 átomos.