O tempo entre a detecção de uma partícula por um contador geiger é distribuído exponencialmente com média=1,4 minutos. Após esperarmos 3 minutos, qual a probabilidade de que a partícula seja detectada nos próximos 30 segundos? 0,3001
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única probabilidade:
- Tempo entre detecções é uma variável aleatória com média
minutos. - Esperou-se já
minutos sem detecção. - Pergunta: qual a probabilidade de que a detecção ocorra nos próximos
segundos (ou seja, nos próximos minutos) dado que nada foi detectado nos primeiros minutos?
Passo 2
Primeiro vamos transformar a informação da média em parâmetro útil. Para o modelo exponencial (aqui usado porque o enunciado descreve tempos entre eventos com média dada — vamos explicar a propriedade que precisamos):
- Denotemos o tempo até a detecção por
. - Para a distribuição exponencial usa-se o parâmetro taxa
(unidade: 1/minuto). A média relaciona-se com por
- Como a média é
minutos, obtemos
Explanação curta:
é a “taxa” de ocorrência por minuto; se a média é maior,
é menor e vice-versa.
Outra coisa importantíssima da exponencial: a propriedade de falta de memória (memoryless). Ela diz que, para
,
Na prática isso significa que, depois de já esperar
minutos sem evento, a distribuição do tempo adicional até o evento não depende do passado. Essa propriedade é exclusiva (entre contínuas simples) da exponencial e vai simplificar o cálculo condicional.
Passo 3
Expressamos a probabilidade pedida em termos do tempo
:
Usando a definição de probabilidade condicional:
Agora aplicamos a propriedade de falta de memória (ou fazemos a álgebra usando a função sobrevivência da exponencial). Pela falta de memória:
Portanto só precisamos da probabilidade de ocorrer em até
minutos a partir de zero.
Passo 4
Para a exponencial, a função de sobrevivência (probabilidade de exceder
) é
e a função de distribuição acumulada é
Substituindo
e
:
Agora a aproximação numérica. O expoente é
. Calculando
Arredondando a quatro casas decimais obtemos
.
Passo 5
Interpretação intuitiva rápida: por causa da falta de memória da exponencial, o fato de já termos esperado
minutos sem detecção não muda a chance de detectar dentro dos próximos
segundos — é a mesma chance que teria começando a contar do zero. Isso facilita muito a conta na prova. Força aí — você já foi até aqui, tá indo bem!