O tempo entre a detecção de uma partícula por um contador geiger é distribuído exponencialmente com média=1,4 minutos. Após esperarmos 3 minutos, qual a probabilidade de que a partícula seja detectada nos próximos 30 segundos? 0,3001

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única probabilidade:
  • Tempo entre detecções é uma variável aleatória com média \,1,4 minutos.
  • Esperou-se já \,3 minutos sem detecção.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a detecção ocorra nos próximos 30 segundos (ou seja, nos próximos \,0,5 minutos) dado que nada foi detectado nos primeiros \,3 minutos?

Passo 2

Primeiro vamos transformar a informação da média em parâmetro útil. Para o modelo exponencial (aqui usado porque o enunciado descreve tempos entre eventos com média dada — vamos explicar a propriedade que precisamos):
  • Denotemos o tempo até a detecção por T.
  • Para a distribuição exponencial usa-se o parâmetro taxa \lambda (unidade: 1/minuto). A média relaciona-se com \lambda por
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
  • Como a média é \,1,4 minutos, obtemos
\lambda=\frac{1}{1,4}=\frac{5}{7}.
Explanação curta: \lambda é a “taxa” de ocorrência por minuto; se a média é maior, \lambda é menor e vice-versa.
Outra coisa importantíssima da exponencial: a propriedade de falta de memória (memoryless). Ela diz que, para s,t\ge0,
\mathbb{P}(T>t+s\mid T>t)=\mathbb{P}(T>s).
Na prática isso significa que, depois de já esperar t minutos sem evento, a distribuição do tempo adicional até o evento não depende do passado. Essa propriedade é exclusiva (entre contínuas simples) da exponencial e vai simplificar o cálculo condicional.

Passo 3

Expressamos a probabilidade pedida em termos do tempo T:
\mathbb{P}\big(\text{detecção nos próximos }0,5\\ \text{min} \mid T>3\big) =\mathbb{P}\big(T\le 3{,}5 \mid T>3\big).çãó
Usando a definição de probabilidade condicional:
\mathbb{P}\big(T\le 3{,}5 \mid T>3\big) =\frac{\mathbb{P}(3<T\le 3{,}5)}{\mathbb{P}(T>3)}.
Agora aplicamos a propriedade de falta de memória (ou fazemos a álgebra usando a função sobrevivência da exponencial). Pela falta de memória:
\mathbb{P}\big(T\le 3{,}5 \mid T>3\big)=\mathbb{P}(T\le 0{,}5).
Portanto só precisamos da probabilidade de ocorrer em até 0{,}5 minutos a partir de zero.

Passo 4

Para a exponencial, a função de sobrevivência (probabilidade de exceder t) é
\mathbb{P}(T>t)=e^{-\lambda t},
e a função de distribuição acumulada é
\mathbb{P}(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.
Substituindo t=0{,}5 e \lambda=5/7:
\mathbb{P}(T\le 0{,}5)=1-e^{-\frac{5}{7}\cdot 0{,}5} =1-e^{-\frac{5}{14}}.
Agora a aproximação numérica. O expoente é -\dfrac{5}{14}\approx -0{,}357142857. Calculando
e^{-\frac{5}{14}}\approx 0{,}69967\quad\Rightarrow\quad 1-e^{-\frac{5}{14}}\approx 0{,}30033.
Arredondando a quatro casas decimais obtemos 0{,}3003.

Passo 5

Interpretação intuitiva rápida: por causa da falta de memória da exponencial, o fato de já termos esperado 3 minutos sem detecção não muda a chance de detectar dentro dos próximos 30 segundos — é a mesma chance que teria começando a contar do zero. Isso facilita muito a conta na prova. Força aí — você já foi até aqui, tá indo bem!

Resposta

0,3003

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