Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
segue a distribuição normal padrão, isto é média
e desvio padrão
. A pergunta é calcular a probabilidade
Informações relevantes:
-
. - Queremos a área da cauda direita do gráfico da densidade normal padrão para
.
Passo 2
O que é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão?
Definimos
Definimos
para
. Ou seja,
dá a probabilidade de que
seja menor ou igual a
. A probabilidade que queremos pode ser escrita em termos de
como
Isso vem da identidade geral
.
Passo 3
Outra propriedade útil (simetria) da normal padrão é
Isto nos diz que a área à direita de
é igual à área à esquerda de
. Mas aqui usaremos a forma
pois é a mais direta para tabelas ou calculadora.
Passo 4
Como obter
? Em provas normais costuma-se usar a tabela da normal padrão (ou calculadora). Pela tabela padrão da normal (valor consultado na tabela),
Observação: esse número foi obtido consultando a tabela padrão da normal (tabela Z) para
.
Passo 5
Agora calculamos a cauda direita:
Passo 6
Se for interessante conferir sem tabela, existe uma aproximação assintótica (fórmula de Mill) para caudas da normal:
Aplicando com
e fazendo as contas (passo a passo:
,
,
, etc.) obtém-se um valor aproximado
, que é próximo de
. Isso serve como checagem: a resposta com tabela
é consistente com a aproximação.
Passo 7
Interpretação prática: a probabilidade
é muito pequena, cerca de
de uma unidade percentual (ou seja, aproximadamente
de observações ficam acima de
na normal padrão). Força aí nos estudos — caudas assim aparecem em testes de significância com níveis de confiança altos.