Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
P(X>2,58)

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X segue a distribuição normal padrão, isto é média 0 e desvio padrão 1. A pergunta é calcular a probabilidade
P(X>2,58).
Informações relevantes:
  • X \sim N(0,1).
  • Queremos a área da cauda direita do gráfico da densidade normal padrão para x=2,58.

Passo 2

O que é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão?
Definimos
\Phi(z)=P(X\le z)
para X\sim N(0,1). Ou seja, \Phi(z) dá a probabilidade de que X seja menor ou igual a z. A probabilidade que queremos pode ser escrita em termos de \Phi como
P(X>2,58)=1-\Phi(2,58).
Isso vem da identidade geral P(X>z)=1-P(X\le z).

Passo 3

Outra propriedade útil (simetria) da normal padrão é
P(X>z)=P(X<-z).
Isto nos diz que a área à direita de z é igual à área à esquerda de -z. Mas aqui usaremos a forma 1-\Phi(2,58) pois é a mais direta para tabelas ou calculadora.

Passo 4

Como obter \Phi(2,58)? Em provas normais costuma-se usar a tabela da normal padrão (ou calculadora). Pela tabela padrão da normal (valor consultado na tabela),
\Phi(2,58)=0,9951.
Observação: esse número foi obtido consultando a tabela padrão da normal (tabela Z) para z=2,58.

Passo 5

Agora calculamos a cauda direita:
P(X>2,58)=1-\Phi(2,58)=1-0,9951=0,0049.

Passo 6

Se for interessante conferir sem tabela, existe uma aproximação assintótica (fórmula de Mill) para caudas da normal:
P(X>z)\approx \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}\Bigl(1-\frac{1}{z^{2}}\Bigr).
Aplicando com z=2,58 e fazendo as contas (passo a passo: z^{2}=6,6564, e^{-z^{2}/2}\approx e^{-3,3282}\approx0,03585, \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\approx0,1546, etc.) obtém-se um valor aproximado 0,0047, que é próximo de 0,0049. Isso serve como checagem: a resposta com tabela 0,0049 é consistente com a aproximação.

Passo 7

Interpretação prática: a probabilidade P(X>2,58) é muito pequena, cerca de 0,49\% de uma unidade percentual (ou seja, aproximadamente 0,49\% de observações ficam acima de 2,58 na normal padrão). Força aí nos estudos — caudas assim aparecem em testes de significância com níveis de confiança altos.

Resposta

0,0049

Exercícios relacionados