Suponha que, a uma temperatura de t0=25^circ C, uma barra de alumínio tenha o comprimento de 10 cm . Suponha ainda que o comprimento c(t)=10+10^-4 times(t-t0). Nesse caso, |t-t0| é dita a variação da temperatura e |c(t)-c(t0)| é a correspondente variação do comprimento. Além disso, para t neq t0, o quociente c(t)-c(t0)t-t0 é a taxa média de variação do comprimento.
Determine uma variação positiva na temperatura de forma que a correspondente variação do comprimento seja inferior a 0,0005 cm.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma barra de alumínio que, a uma temperatura inicial de t0 = 25^circ C , mede 10 cm de comprimento. A fórmula que relaciona o comprimento da barra com a temperatura é c(t) = 10 + 10^-4 times (t - t0) . A gente quer descobrir qual aumento de temperatura faz com que o comprimento da barra aumente menos que 0,0005 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de variação e taxa de variação média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a variação da temperatura e a variação do comprimento. A variação da temperatura é |t - t0| e a variação do comprimento é |c(t) - c(t0)| . Queremos que essa variação do comprimento seja menor que 0,0005 cm.

Passo 3

Vamos começar substituindo c(t0) na fórmula. Sabemos que c(t0) = 10 cm. Então, a variação do comprimento é:
|c(t) - c(t0)| = |10 + 10^-4 times (t - t0) - 10| = |10^-4 times (t - t0)|
Isso simplifica para:
|c(t) - c(t0)| = 10^-4 times |t - t0|

Passo 4

Queremos que essa variação do comprimento seja menor que 0,0005 cm. Então, temos:
10^-4 times |t - t0| < 0,0005
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar |t - t0| .

Passo 5

Dividindo ambos os lados da inequação por 10^-4 :
|t - t0| < 0,000510^-4 = 5
Isso significa que a variação da temperatura deve ser menor que 5°C.

Passo 6

Como o problema pede uma variação positiva na temperatura, isso significa que o aumento de temperatura não pode ultrapassar 5°C para que o aumento no comprimento da barra fique abaixo de 0,0005 cm.

Resposta

A variação positiva na temperatura deve ser menor que 5^circ C para que a correspondente variação do comprimento seja inferior a 0,0005 cm.

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