Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=sin ^2 a t i+t^e j+cos ^2 c t k

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t)=sin^2(a t),i+t^e,j+cos^2(c t),k.
Vamos usar a regra da cadeia para os termos quadráticos em seno e cosseno, e a regra do poder para t^e.

Passo 2

Derivando o componente em i:
Temos u(t)=sin^2(a t). Pela regra da cadeia,
u'(t)=2sin(a t)cdotcos(a t)cdotddt(a t) =2sin(a t)cos(a t),a =asinl(2a tr)
Logo, o termo em i é asin(2a t),i.

Passo 3

Derivando o componente em j:
Para v(t)=t^e, pela regra do poder,
v'(t)=e,t^e-1
Então o termo em j é e,t^e-1,j.

Passo 4

Derivando o componente em k:
Temos w(t)=cos^2(c t). Pela regra da cadeia,
w'(t)=2cos(c t)cdotl(-sin(c t)r)cdotddt(c t) =-2cos(c t)sin(c t),c =-csinl(2c tr)
Assim, o termo em k é -csin(2c t),k.

Passo 5

Juntando os três resultados, obtemos
r'(t) =asin(2a t),i +e,t^e-1,j -csin(2c t),k

Resposta

r'(t)=asin(2a t),i+e,t^e-1,j-csin(2c t),k

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