Suponha que a temperatura em um certo local seja normalmente distribuída com média
e variância 4. Indique, usando a curva normal como você calcularia a probabilidade de que a temperatura T em um dado dia esteja entre
e
? E a probabilidade de que a temperatura T esteja acima de
ou abaixo de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
- Informação: a temperatura
num certo local é distribuída normalmente com média , e variância . - Informação: isto significa que
e . - Pergunta (a): calcular a probabilidade de que
. - Pergunta (b): calcular a probabilidade de que
ou .
Passo 2
Entendimento do que vamos usar (sem iniciar a conta ainda).
- Para problemas com uma distribuição descrita por média e variância e que envolvem “entre” ou “acima/abaixo” de certos valores, usamos a curva de distribuição (a chamada curva normal) e transformamos os valores em uma escala padrão para consultar áreas sob a curva.
- A transformação padrão é feita pela variável padronizada
, definida pela fórmula
onde
é a média e
é o desvio padrão. Vou explicar cada símbolo:
é a temperatura (a variável aleatória),
é a média (
),
é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância), e
é a versão “padronizada” que tem média
e desvio padrão
. A vantagem é que as probabilidades para
são tabeladas pela função de distribuição acumulada
.
Passo 3
Calcular o desvio padrão
a partir da variância dada.
- A variância é
. - Logo o desvio padrão é a raiz quadrada:
.
Passo 4
Padronizar os limites do item (a): calcular os valores de
correspondentes a
e
.
- Para
:
- Para
:
Interpretação: a probabilidade pedida em (a) será a área da curva padrão entre
e
.
Passo 5
Converter a probabilidade pedida em (a) para a função de distribuição acumulada
.
- Em termos de
,
- Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
. Logo .
Passo 6
Obter valores da tabela da normal padrão (ou usar calculadora) e calcular a área para (a).
- Valores típicos da tabela:
e . - Assim
. - Substituindo:
Explicação rápida: isso significa que cerca de
das temperaturas caem entre
e
.
Passo 7
Agora resolver o item (b): calcular
. Note que os eventos são disjuntos (não se sobrepõem), então a probabilidade da união é a soma das probabilidades das partes.
- Vamos padronizar os pontos
e .
Passo 8
Padronizar e calcular as probabilidades das caudas.
- Para
já temos . Logo
Usando
, obtemos
- Para
:
Logo
Usando a simetria,
. A tabela dá
, então
Passo 9
Somar as probabilidades das duas caudas para obter o item (b).
- Como são eventos disjuntos,
Interpretação: cerca de
dos dias têm temperatura acima de
ou abaixo de
.