Suponha que a temperatura em um certo local seja normalmente distribuída com média 50^{\circ} e variância 4. Indique, usando a curva normal como você calcularia a probabilidade de que a temperatura T em um dado dia esteja entre 48^{\circ} e 53^{\circ} \mathrm{C} ? E a probabilidade de que a temperatura T esteja acima de 53^{\circ} \mathrm{C} ou abaixo de 44^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
  • Informação: a temperatura T num certo local é distribuída normalmente com média \,50^\circ, e variância \,4.
  • Informação: isto significa que \mu=50 e \sigma^{2}=4.
  • Pergunta (a): calcular a probabilidade de que \,48^\circ \le T \le 53^\circ.
  • Pergunta (b): calcular a probabilidade de que T>53^\circ ou T<44^\circ.

Passo 2

Entendimento do que vamos usar (sem iniciar a conta ainda).
  • Para problemas com uma distribuição descrita por média e variância e que envolvem “entre” ou “acima/abaixo” de certos valores, usamos a curva de distribuição (a chamada curva normal) e transformamos os valores em uma escala padrão para consultar áreas sob a curva.
  • A transformação padrão é feita pela variável padronizada Z, definida pela fórmula
Z=\frac{T-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Vou explicar cada símbolo: \,T é a temperatura (a variável aleatória), \mu é a média ( 50), \sigma é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância), e Z é a versão “padronizada” que tem média 0 e desvio padrão 1. A vantagem é que as probabilidades para Z são tabeladas pela função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 3

Calcular o desvio padrão \sigma a partir da variância dada.
  • A variância é \sigma^{2}=4.
  • Logo o desvio padrão é a raiz quadrada: \sigma=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Padronizar os limites do item (a): calcular os valores de Z correspondentes a T=48 e T=53.
  • Para T=48:
z_{1}=\frac{48-50}{2}=\frac{-2}{2}=-1.
  • Para T=53:
z_{2}=\frac{53-50}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5.
Interpretação: a probabilidade pedida em (a) será a área da curva padrão entre \,z=-1 e \,z=1{,}5.

Passo 5

Converter a probabilidade pedida em (a) para a função de distribuição acumulada \Phi.
  • Em termos de Z,
P(48\le T\le 53)=P(-1\le Z\le 1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1).
  • Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z). Logo \Phi(-1)=1-\Phi(1).

Passo 6

Obter valores da tabela da normal padrão (ou usar calculadora) e calcular a área para (a).
  • Valores típicos da tabela: \Phi(1)=0{,}8413 e \Phi(1{,}5)=0{,}9332.
  • Assim \Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587.
  • Substituindo:
P(48\le T\le 53)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)=0{,}9332-0{,}1587=0{,}7745.
Explicação rápida: isso significa que cerca de 77{,}45\% das temperaturas caem entre 48^\circ e 53^\circ.

Passo 7

Agora resolver o item (b): calcular P(T>53 \text{ ou } T<44). Note que os eventos são disjuntos (não se sobrepõem), então a probabilidade da união é a soma das probabilidades das partes.
  • Vamos padronizar os pontos T=53 e T=44.

Passo 8

Padronizar e calcular as probabilidades das caudas.
  • Para T=53 já temos z_{53}=1{,}5. Logo
P(T>53)=P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).
Usando \Phi(1{,}5)=0{,}9332, obtemos
P(T>53)=1-0{,}9332=0{,}0668.
  • Para T=44:
z_{44}=\frac{44-50}{2}=\frac{-6}{2}=-3.
Logo
P(T<44)=P(Z<-3)=\Phi(-3).
Usando a simetria, \Phi(-3)=1-\Phi(3). A tabela dá \Phi(3)=0{,}99865, então
\Phi(-3)=1-0{,}99865=0{,}00135.

Passo 9

Somar as probabilidades das duas caudas para obter o item (b).
  • Como são eventos disjuntos,
P(T>53\\ \text{ou}\\ T<44)=P(T>53)+P(T<44)=0{,}0668+0{,}00135=0{,}06815.
Interpretação: cerca de 6{,}815\% dos dias têm temperatura acima de 53^\circ ou abaixo de 44^\circ.

Resposta

P(48^\circ \le T \le 53^\circ)=0{,}7745
P(T>53^\circ \text{ ou } T<44^\circ)=0{,}06815

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