Uma população de homens tem altura com distribuição normal, \mu \mu=170 \mathrm{~cm} e \sigma \sigma=4 cm , isto é, \mathrm{N}(170,16). Qual a probabilidade de que um indivíduo selecionado aleatoriamente dessa população tenha a altura entre 165 cm a 174 cm ?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):\n
A população tem altura com distribuição normal de média \mu=170 cm e variância \sigma^2=16 cm ^2, portanto desvio padrão \sigma=4 cm. O que se pede é a probabilidade de um indivíduo escolhido aleatoriamente ter altura entre 165 cm e 174 cm, isto é, calcular
P(165 \le X \le 174).

Passo 2

Entendendo o que significa calcular essa probabilidade: em uma distribuição contínua (como a normal), a probabilidade de o valor X cair num intervalo [a,b] é dada pela diferença das funções de distribuição acumulada (CDF) no ponto b e em a. Para a normal padrão (variável Z com média 0 e desvio 1) a CDF é geralmente denotada por \Phi(z)=P(Z\le z). \n
Então o plano é transformar X numa variável normal padrão Z e usar valores de \Phi.

Passo 3

Explicando a padronização (a fórmula e o porquê):\n
Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Essa transformação desloca (subtrai a média) e escala (divide pelo desvio) a variável, de modo que Z tenha média 0 e desvio 1. Na prática, para converter um limite x de X em limite correspondente z de Z usamos
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.

Passo 4

Calcular as pontuações z para os limites 165 e 174:\n
Para x=165:
z_1=\frac{165-170}{4}=\frac{-5}{4}=-1,25.
Para x=174:
z_2=\frac{174-170}{4}=\frac{4}{4}=1.

Passo 5

Expressar a probabilidade em função da normal padrão:\n
P(165 \le X \le 174)=P\big(-1,25 \le Z \le 1\big)=\Phi(1)-\Phi(-1,25).

Passo 6

Usar a propriedade de simetria da normal padrão para simplificar \Phi(-1,25):\n
Como a densidade da normal padrão é simétrica em torno de 0, vale
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para todo }a>0.
Logo,
\Phi(-1,25)=1-\Phi(1,25).
Substituindo em cima:
P(165 \le X \le 174)=\Phi(1)-\big(1-\Phi(1,25)\big)=\Phi(1)+\Phi(1,25)-1.

Passo 7

Ler os valores de \Phi (da tabela z ou calculadora) e calcular numericamente:\n
Valores padrão (tabela/calculadora):
\Phi(1)\approx 0,84134, \qquad \Phi(1,25)\approx 0,89435.
Portanto
P(165 \le X \le 174)\approx 0,84134+0,89435-1=0,73569.

Passo 8

Interpretação final e arredondamento:\n
A probabilidade obtida é aproximadamente 0,7357, ou 73,57\%. Isso significa que, numa população com essas características, cerca de 73{,}6\% dos homens têm altura entre 165 cm e 174 cm.

Resposta

0,7357

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