Uma população de homens tem altura com distribuição normal,
e
cm , isto é,
. Qual a probabilidade de que um indivíduo selecionado aleatoriamente dessa população tenha a altura entre 165 cm a 174 cm ?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):\n
A população tem altura com distribuição normal de média cm e variância
cm
, portanto desvio padrão
cm. O que se pede é a probabilidade de um indivíduo escolhido aleatoriamente ter altura entre 165 cm e 174 cm, isto é, calcular
A população tem altura com distribuição normal de média
Passo 2
Entendendo o que significa calcular essa probabilidade: em uma distribuição contínua (como a normal), a probabilidade de o valor
cair num intervalo
é dada pela diferença das funções de distribuição acumulada (CDF) no ponto
e em
. Para a normal padrão (variável
com média
e desvio
) a CDF é geralmente denotada por
. \n
Então o plano é transformar numa variável normal padrão
e usar valores de
.
Então o plano é transformar
Passo 3
Explicando a padronização (a fórmula e o porquê):\n
Se é normal com média
e desvio padrão
, definimos a variável padronizada
Se
Essa transformação desloca (subtrai a média) e escala (divide pelo desvio) a variável, de modo que
tenha média
e desvio
. Na prática, para converter um limite
de
em limite correspondente
de
usamos
Passo 4
Calcular as pontuações
para os limites
e
:\n
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Expressar a probabilidade em função da normal padrão:\n
Passo 6
Usar a propriedade de simetria da normal padrão para simplificar
:\n
Como a densidade da normal padrão é simétrica em torno de , vale
Como a densidade da normal padrão é simétrica em torno de
Logo,
Substituindo em cima:
Passo 7
Ler os valores de
(da tabela z ou calculadora) e calcular numericamente:\n
Valores padrão (tabela/calculadora):
Valores padrão (tabela/calculadora):
Portanto
Passo 8
Interpretação final e arredondamento:\n
A probabilidade obtida é aproximadamente , ou
. Isso significa que, numa população com essas características, cerca de
dos homens têm altura entre
cm e
cm.
A probabilidade obtida é aproximadamente