Uma fábrica envia ao depósito 500 artigos; a probabilidade de um artigo se deteriorar no caminho é igual a 0,0002 . Achar a probabilidade de que no caminho se deteriorem:
a) exatamente 3 artigos;
a) 0,00015
b) menos de 3 artigos;
b) 0,999996
c) pelo menos um artigo.
c) 0,0952
a) exatamente 3 artigos;
a) 0,00015
b) menos de 3 artigos;
b) 0,999996
c) pelo menos um artigo.
c) 0,0952
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede 3 probabilidades.
Perguntas:
- Probabilidade de que se deteriorem exatamente 3 artigos.
- Probabilidade de que se deteriore menos de 3 artigos (ou seja, menos de 3:
ou artigos). - Probabilidade de que se deteriome pelo menos um artigo.
Passo 2
Qual método usar? Vou explicar e escolher o método passo a passo.
- A distribuição exata dos artigos deteriorados seria a binomial
com e . A fórmula da binomial é
onde
é o número de maneiras de escolher
artigos entre
.
- Quando
é grande e é pequeno (caso clássico), e o produto é moderado ou pequeno, é muito comum usar a aproximação de Poisson: com
A Poisson tem fórmula simples:
Aqui temos
grande,
muito pequeno e
pequeno, então a aproximação de Poisson é apropriada e facilita muito os cálculos à mão. Vou usar Poisson com
.
Passo 3
Calcular o parâmetro
:
Ou seja,
é a média esperada de artigos deteriorados no trajeto.
Vou precisar de
. Se você não tiver calculadora, pode aproximar
por série:
para
isso dá
Usarei
.
Passo 4
(a) Probabilidade de exatamente 3 artigos deteriorados.
Usando Poisson com
:
Substituindo:
Então
Com
temos
Arredondando para quatro casas significativas depois da vírgula milhar, obtemos
.
Passo 5
(b) Probabilidade de menos de 3 artigos: isto é
.
Calculo termo a termo pela Poisson.
Somando:
Observação útil (didática): às vezes alguém pergunta
(menos ou igual a 3). Nesse caso bastaria somar também
que calculamos antes; para este problema
. Isso explica por que você pode ver o número
em algumas folhas de resposta: ele corresponde a
, não a
.
Passo 6
(c) Probabilidade de pelo menos um artigo deteriorado:
.
Já calculamos
. Portanto
Arredondando para quatro casas decimais após a vírgula, obtemos
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)