Uma fábrica envia ao depósito 500 artigos; a probabilidade de um artigo se deteriorar no caminho é igual a 0,0002 . Achar a probabilidade de que no caminho se deteriorem:
a) exatamente 3 artigos;
a) 0,00015
b) menos de 3 artigos;
b) 0,999996
c) pelo menos um artigo.
c) 0,0952

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede 3 probabilidades.
n=500,\qquad p=0{,}0002
Perguntas:
  1. Probabilidade de que se deteriorem exatamente 3 artigos.
  2. Probabilidade de que se deteriore menos de 3 artigos (ou seja, menos de 3: 0,1 ou 2 artigos).
  3. Probabilidade de que se deteriome pelo menos um artigo.

Passo 2

Qual método usar? Vou explicar e escolher o método passo a passo.
  • A distribuição exata dos artigos deteriorados seria a binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p) com n=500 e p=0{,}0002. A fórmula da binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k artigos entre n.
  • Quando n é grande e p é pequeno (caso clássico), e o produto np é moderado ou pequeno, é muito comum usar a aproximação de Poisson: X\approx\mathrm{Poisson}(\lambda) com
\lambda = np.
A Poisson tem fórmula simples:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui temos n=500 grande, p=0{,}0002 muito pequeno e np=0{,}1 pequeno, então a aproximação de Poisson é apropriada e facilita muito os cálculos à mão. Vou usar Poisson com \lambda=np.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda:
\lambda = np = 500\cdot 0{,}0002 = 0{,}1.
Ou seja, \lambda=0{,}1 é a média esperada de artigos deteriorados no trajeto.
Vou precisar de e^{-\lambda}=e^{-0{,}1}. Se você não tiver calculadora, pode aproximar e^{-x} por série:
e^{-x}\approx 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} - \cdots
para x=0{,}1 isso dá
e^{-0{,}1}\approx 1 - 0{,}1 + \frac{0{,}1^{2}}{2} - \frac{0{,}1^{3}}{6} + \frac{0{,}1^{4}}{24} =1 - 0{,}1 + 0{,}005 - 0{,}000166\overline{6} + 0{,}000004166\overline{6}\approx 0{,}9048375.
Usarei e^{-0{,}1}\approx 0{,}9048375.

Passo 4

(a) Probabilidade de exatamente 3 artigos deteriorados.
Usando Poisson com \lambda=0{,}1:
P(X=3)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{3}}{3!}.
Substituindo:
\lambda^{3}=0{,}1^{3}=0{,}001,\qquad 3!=6.
Então
P(X=3)=e^{-0{,}1}\frac{0{,}001}{6}=e^{-0{,}1}\cdot 0{,}000166\overline{6}.
Com e^{-0{,}1}\approx 0{,}9048375 temos
P(X=3)\approx 0{,}9048375\cdot 0{,}000166\overline{6}\approx 0{,}000150806.
Arredondando para quatro casas significativas depois da vírgula milhar, obtemos P(X=3)\approx 0{,}00015.

Passo 5

(b) Probabilidade de menos de 3 artigos: isto é P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
Calculo termo a termo pela Poisson.
  • P(X=0)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-0{,}1}\cdot 1 = e^{-0{,}1}\approx 0{,}9048375.
  • P(X=1)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{1}}{1!}=e^{-0{,}1}\cdot 0{,}1\approx 0{,}9048375\cdot 0{,}1=0{,}09048375.
  • P(X=2)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{2}}{2!}=e^{-0{,}1}\cdot \dfrac{0{,}1^{2}}{2}=e^{-0{,}1}\cdot \dfrac{0{,}01}{2}=e^{-0{,}1}\cdot 0{,}005\approx 0{,}9048375\cdot 0{,}005=0{,}0045241875.
Somando:
P(X<3)\approx 0{,}9048375 + 0{,}09048375 + 0{,}0045241875 = 0{,}9998454375\approx 0{,}999845.
Observação útil (didática): às vezes alguém pergunta P(X\le 3) (menos ou igual a 3). Nesse caso bastaria somar também P(X=3) que calculamos antes; para este problema P(X\le 3)\approx 0{,}999845+0{,}0001508\approx 0{,}999996. Isso explica por que você pode ver o número 0{,}999996 em algumas folhas de resposta: ele corresponde a P(X\le 3), não a P(X<3).

Passo 6

(c) Probabilidade de pelo menos um artigo deteriorado: P(X\ge 1)=1-P(X=0).
Já calculamos P(X=0)=e^{-0{,}1}\approx 0{,}9048375. Portanto
P(X\ge 1)=1-e^{-0{,}1}\approx 1-0{,}9048375=0{,}0951625\approx 0{,}09516.
Arredondando para quatro casas decimais após a vírgula, obtemos P(X\ge 1)\approx 0{,}0952.

Resposta

a) P(\text{exatamente 3})\approx 0{,}0001508 \\ (\approx 0{,}00015)
b) P(\text{menos de 3})=P(X<3)\approx 0{,}999845
c) P(\text{pelo menos um})=P(X\ge 1)\approx 0{,}09516 \\ (\approx 0{,}0952)

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