Suponha que a temperatura ao longo do ano em Brasília seja modelada pela função T(t)=m+a cos (omega t), em que a temperatura é medida em graus e o tempo em meses, com t=0 correspondento ao início do ano.
Determine a constante m supondo que a temperatura média seja de 20^circ.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura em Brasília é dada por T(t)=m+a\cos(ωt), que é uma função períodica com período P=2π/ω, e informa que a temperatura média ao longo do ano (um período) vale 20°C. Precisamos achar m.

Passo 2

Para achar a temperatura média de uma função períodica utilizamos a fórmula da média em um período:
bar T=1Pintegral0^P T(t),dt
Aqui temos P=2π/ω, então
bar T=ω2πintegral0^2π/ω[m+acos(ωt)],dt

Passo 3

Ao calcular a integral:
integral0^2π/ωm,dt=mcdot2πω,
integral0^2π/ωacos(ωt),dt=aωsin(ωt)|0^2π/ω=0
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bar T=ω2πcdot m2πω=m
Como foi dado que bar T=20°!C, concluímos que m=20.

Resposta

m = 20°C

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