Utilizando a regra de LHôpital calcule os limites abaixo:
lim x 0 sin (x)-xtan (x)-x

Passo 1

A gente tem o limite limxto0sin(x)-xtan(x)-x. O conteúdo aqui é a regra de L’Hôpital, pois vamos derivar numerador e denominador quando a forma for 0/0.

Passo 2

Primeiro, conferimos a forma: ao substituir x=0 no numerador dá sin0-0=0 e no denominador dá tan0-0=0. Então é 0/0 e podemos usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador:
num'=cos(x)-1, den'=sec^2(x)-1
O limite vira
limxto0cos(x)-1sec^2(x)-1

Passo 4

Ainda temos forma 0/0 (já que cos0-1=0 e sec^2(0)-1=0). Então aplicamos L’Hôpital de novo:
num''=-sin(x), den''=2sec^2(x)tan(x)
O limite passa a ser
limxto0-sin(x)2sec^2(x)tan(x)

Passo 5

Agora simplificamos: use tan(x)=sin(x)cos(x) e sec^2(x)=1cos^2(x). Então
2sec^2(x)tan(x)=21cos^2(x)cdotsin(x)cos(x)=2sin(x)cos^3(x)
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-sin(x)2sec^2(x)tan(x)=-sin(x)2sin(x)cos^3(x)=-tfrac12cos^3(x)
Avalia em x=0: cos0=1, então o limite é -1/2.

Resposta

-1/2

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