Utilize uma integral tripla para obter o volume da região fora da esfera
e dentro da esfera de raio 2 centrada na origem, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de uma região específica usando integrais triplas. O problema fala sobre duas esferas: uma deslocada no eixo z e outra centrada na origem. Pra isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante na hora de integrar áreas com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as esferas envolvidas. A primeira esfera é dada pela equação $ x^{2} + y^{2} + (z-1)^{2} = 1 $. Essa é uma esfera de raio 1, centrada no ponto (0, 0, 1). A segunda esfera é de raio 2, centrada na origem, então sua equação é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $.
Passo 3
A região que a gente quer encontrar é aquela que está fora da primeira esfera e dentro da segunda esfera, além de considerar apenas os pontos onde $ z \geq 0 $. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde $ x = \rho \sin\phi \cos\theta $, $ y = \rho \sin\phi \sin\theta $ e $ z = \rho \cos\phi $. O diferencial de volume nessas coordenadas é $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $. Como estamos trabalhando com $ z \geq 0 $, o ângulo $ \phi $ vai de 0 a $ \pi/2 $. O ângulo $ \theta $ roda completamente, de 0 a $ 2\pi $.
Passo 5
Para $ \rho $, a esfera de raio 2 limita o máximo, então $ \rho $ vai de 0 até 2. Mas como queremos a região fora da primeira esfera, precisamos encontrar onde a esfera menor começa. Substituindo as coordenadas esféricas na equação da primeira esfera:
Resolvendo essa equação para $ \rho $, encontramos que $ \rho $ varia de $ 1 $ até $ 2 $.
Passo 6
Então, montamos a integral tripla para o volume:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ \phi $:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
Multiplicando todos os resultados, o volume é: