Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais.
integral 10(x-2)(x^2+9) d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral 10(x-2)(x^2+9),dx usando frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações parciais e depois aplicação das integrais básicas de 1/(x-a), x/(x^2+a^2) e 1/(x^2+a^2). Vamos precisar de: montar a decomposição 10(x-2)(x^2+9)=Ax-2+Bx+Cx^2+9, resolver para A,B,C e depois integrar cada parte.

Passo 2

Começamos escrevendo a decomposição parcial:
10(x-2)(x^2+9)=Ax-2+Bx+Cx^2+9
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x^2+9) dá:
10=A(x^2+9)+(Bx+C)(x-2)

Passo 3

Expandindo o lado direito, temos:
A x^2+9A + Bx^2-2Bx + Cx-2C = (A+B)x^2 +(-2B+C)x + (9A-2C)
Igualando coeficientes com o polinômio constante 10:
A+B=0, -2B+C=0, 9A-2C=10

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. De A+B=0 vem B=-A.
  2. Em -2B+C=0 substituindo B=-A C=-2A.
  3. Em 9A-2C=10 substituímos C=-2A:
9A-2(-2A)=9A+4A=13A=10implies A=1013
Logo B=-1013, C=-2013

Passo 5

Agora a decomposição fica:
10(x-2)(x^2+9)=10/13x-2+-1013x-2013x^2+9
Separamos em três integrais:
$$ \int\frac{10/13}{x-2}dx - \int\frac{(10/13)x}{x^2+9}dx - \int\frac{20/13}{x^2+9}dx.
$$

Passo 6

Agora integramos cada parte:
  1. integral10/13x-2dx=1013ln|x-2|
  2. Para integral(10/13)xx^2+9dx, faça u=x^2+9, então du=2x,dx, ou x,dx=du/2. Isso dá
$$ \frac{10}{13}\cdot\frac12\int\frac{du}{u}=\frac{5}{13}\ln(x^2+9).
$$
3) 1013cdot12integralduu=513ln(x^2+9)

Passo 7

Juntando tudo e lembrando dos sinais:
integral10(x-2)(x^2+9)dx=1013ln|x-2|-513ln(x^2+9)-2039arctanl(tfracx3r)+C
Essa é a forma final da primitiva.

Passo 8

Resposta

1013ln|x-2|-513ln(x^2+9)-2039arctanl(tfracx3r)+C

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