Suponha que a temperatura em um ponto
seja
. O fluxo de calor é definido como o campo vetorial
sendo K é uma constante denominada condutividade. A taxa de transmissão de calor através da superfície
no corpo é dada por
Supondo que a temperatura u em uma bola metálica de raio
é proporcional ao quadrado da distância ao centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera
de raio
mesmo centro que a bola.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
- Informação 1: A condutividade térmica é uma constante
e o fluxo de calor é o campo vetorial
- Informação 2: A temperatura
é proporcional ao quadrado da distância ao centro. Ou seja, existe uma constante de proporcionalidade tal que depende de por
(O enunciado disse “proporcional”, por isso introduzi
.)
- Informação 3: A superfície
é uma esfera de raio com o mesmo centro da bola (portanto centrada na origem) e .
O que o enunciado pede:
- Calcular a taxa de transmissão de calor através da superfície
, ou seja avaliar a integral de superfície
Passo 2
Escrever explicitamente a função temperatura usando a proporcionalidade (escolhi o nome
para a constante de proporcionalidade). Assim:
Aqui
é uma constante real. Explicando devagar: a expressão
é exatamente
, onde
é a distância do ponto ao centro; como o enunciado diz “proporcional ao quadrado da distância”, multiplicamos
por uma constante
.
Passo 3
Calcular o gradiente
. Lembrete: o gradiente é o vetor das derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento de
. Fazendo as derivadas parciais:
Portanto, em notação vetorial,
Também podemos escrever
, onde
é o vetor posição.
Passo 4
Agora usar
. Substituindo o gradiente que achamos:
Ou seja
é um campo radial (proporcional a
), com magnitude que cresce linearmente com
.
Passo 5
Montar a integral de superfície sobre a esfera
de raio
. Lembrete: o elemento de superfície vetorial é
, onde
é o versor normal exterior. Para uma esfera centrada na origem, no ponto
da superfície temos
e
sobre
.
Calcular o produto escalar ponto a ponto:
Como estamos sobre a esfera,
, então
Observe que esse resultado é constante sobre toda a superfície: o integrando não depende das coordenadas angulares da esfera.
Passo 6
Integrar sobre a superfície: como
é constante sobre
, basta multiplicar pelo área da esfera. A área de uma esfera de raio
é
. Logo a taxa total de transmissão de calor é
Passando em palavras: o sinal negativo indica que o fluxo é no sentido negativo do versor normal exterior — isto é, com
(temperatura aumentando para fora) o calor está fluindo para dentro da esfera (direção centrípeta), então a integral com sinal fica negativa.