Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) seja u(x, y, z). O fluxo de calor é definido como o campo vetorial
\mathbf{F}=-\mathrm{K} \nabla \mathrm{u},
sendo K é uma constante denominada condutividade. A taxa de transmissão de calor através da superfície S no corpo é dada por
\iint_{S} \mathbf{F} \dot{\mathrm{~d}} \mathrm{~S}=-\mathrm{K} \iint_{\mathrm{S}} \nabla \mathbf{u} \dot{\mathrm{~d}} \mathrm{~S}
Supondo que a temperatura u em uma bola metálica de raio R é proporcional ao quadrado da distância ao centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a<R e mesmo centro que a bola.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
  • Informação 1: A condutividade térmica é uma constante K e o fluxo de calor é o campo vetorial
\mathbf{F}=-K\nabla u.
  • Informação 2: A temperatura u(x,y,z) é proporcional ao quadrado da distância ao centro. Ou seja, existe uma constante de proporcionalidade c tal que u depende de r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} por
u(x,y,z)=c\,r^2 = c\,(x^2+y^2+z^2).
(O enunciado disse “proporcional”, por isso introduzi c.)
  • Informação 3: A superfície S é uma esfera de raio a com o mesmo centro da bola (portanto centrada na origem) e a<R.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a taxa de transmissão de calor através da superfície S, ou seja avaliar a integral de superfície
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 2

Escrever explicitamente a função temperatura usando a proporcionalidade (escolhi o nome c para a constante de proporcionalidade). Assim:
u(x,y,z)=c\,(x^2+y^2+z^2).
Aqui c é uma constante real. Explicando devagar: a expressão x^2+y^2+z^2 é exatamente r^2, onde r é a distância do ponto ao centro; como o enunciado diz “proporcional ao quadrado da distância”, multiplicamos r^2 por uma constante c.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla u. Lembrete: o gradiente é o vetor das derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento de u. Fazendo as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=2c x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2c y,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=2c z.
Portanto, em notação vetorial,
\nabla u = 2c\,(x,y,z).
Também podemos escrever \nabla u = 2c\,\mathbf{r}, onde \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição.

Passo 4

Agora usar \mathbf{F}=-K\nabla u. Substituindo o gradiente que achamos:
\mathbf{F} = -K\cdot 2c\,(x,y,z) = -2Kc\,(x,y,z).
Ou seja \mathbf{F} é um campo radial (proporcional a \mathbf{r}), com magnitude que cresce linearmente com r.

Passo 5

Montar a integral de superfície sobre a esfera S de raio a. Lembrete: o elemento de superfície vetorial é d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS, onde \mathbf{n} é o versor normal exterior. Para uma esfera centrada na origem, no ponto (x,y,z) da superfície temos \mathbf{n}=\dfrac{(x,y,z)}{a}=\dfrac{\mathbf{r}}{a} e r=a sobre S.
Calcular o produto escalar ponto a ponto:
\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = \big(-2Kc\,\mathbf{r}\big)\cdot\frac{\mathbf{r}}{a} = -2Kc\,\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}{a} = -2Kc\,\frac{r^2}{a}.
Como estamos sobre a esfera, r=a, então
\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = -2Kc\,\frac{a^2}{a} = -2Kc\,a.
Observe que esse resultado é constante sobre toda a superfície: o integrando não depende das coordenadas angulares da esfera.

Passo 6

Integrar sobre a superfície: como \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é constante sobre S, basta multiplicar pelo área da esfera. A área de uma esfera de raio a é 4\pi a^2. Logo a taxa total de transmissão de calor é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \big(-2Kc\,a\big)\cdot\big(4\pi a^2\big) = -8\pi K c\, a^3.
Passando em palavras: o sinal negativo indica que o fluxo é no sentido negativo do versor normal exterior — isto é, com c>0 (temperatura aumentando para fora) o calor está fluindo para dentro da esfera (direção centrípeta), então a integral com sinal fica negativa.

Resposta

-8\pi K c\, a^{3}

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