O enunciado pede para simplificar a expressão \delta_{i i}. Não há outros dados fornecidos no enunciado além dessa expressão.
Passo 2
Primeiro preciso explicar o que é o símbolo \delta_{ij}\) que aparece na expressão. A definição do Kronecker delta é:
\[\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\[4pt] 0, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Isto significa que \delta_{ij}\] age como um indicador de igualdade de índices: dá \(1 quando os dois índices são iguais e 0 quando são diferentes. Sempre que eu usar \delta_{ij} vou me referir a essa função.]
Passo 3
Agora vejamos a expressão \delta_{i i} avaliando o valor do Kronecker delta quando os dois índices são iguais. Pela definição acima, se os índices são iguais então o valor do delta é 1. Assim, para um índice fixo i temos
\delta_{i i} = 1.
Isto é direto da definição: o caso i=j dá 1.
Passo 4
Entretanto, há uma sutileza importante de notação que aparece frequentemente em física e em notação de tensores: a convenção de soma de Einstein. Essa convenção diz que quando um índice aparece repetido em uma expressão (um em cima e um embaixo, ou duas vezes na mesma posição em contextos comuns), se entende que se está somando sobre todos os valores possíveis desse índice. Em notação mais concreta:
\delta_{i i}\\ \xrightarrow{\text{convenção de Einstein}}\\ \sum_{i=1}^{n}\delta_{ii},
onde n é o número de valores que o índice i pode assumir (ou seja, a dimensão do espaço em que os índices variam).
Passo 5
Aplicando a definição do Kronecker delta dentro da soma, cada termo \delta_{ii} é 1, e portanto a soma tem n termos iguais a 1. Logo, sob a convenção de soma de Einstein:
\sum_{i=1}^{n}\delta_{ii}=1+1+\cdots+1 \quad(\text{\(n\) termos}) = n.
Uma maneira prática de ver isso é pensar em \delta_{ij} como a matriz identidade I (onde \delta_{ij}=I_{ij}); então \delta_{ii} somado sobre i é a traça da matriz identidade, que é n.
Passo 6
Resumo prático para a hora da prova (dica amiga): antes de simplificar \delta_{ii} confirme se o enunciado usa a convenção de soma de Einstein. Se usar, o resultado será n (a dimensão). Se não usar, o resultado direto pela definição do Kronecker delta é 1. Se puder, escreva explicitamente na sua resolução qual interpretação adotou.
Resposta
\delta_{ii}=n (com a convenção de soma de Einstein, somando i=1,\dots,n) \delta_{ii}=1 (se não houver soma implicada; é simplesmente \delta_{ii} pela definição)