Suponha que o tempo até a falha (em horas) de ventiladores em um computador pessoal pode ser modelado por uma distribuição exponencial com média de 2647 horas. (Utilize 4 casas decimais).
Qual é a probabilidade de que os ventiladores durem, no máximo, 2234 horas? square

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a probabilidade de que os ventiladores de um computador falhem em, no máximo, 2234 horas. Estamos lidando com Distribuição Exponencial, que é usada para modelar o tempo entre eventos, como falhas de equipamentos. Para resolver isso, precisamos entender a fórmula da distribuição exponencial e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a média fornecida. A média do tempo até a falha é de 2647 horas. Na distribuição exponencial, a média ( mu) está relacionada ao parâmetro lambda pela fórmula:
lambda = 1mu
Então, vamos calcular lambda:
lambda = 12647 approx 0,0003779

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição exponencial para encontrar a probabilidade de falha em até 2234 horas. A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial é:
P(T <= t) = 1 - e^-lambda t
Onde:
  • P(T <= t) é a probabilidade de a falha ocorrer em até t horas.
  • e é a base do logaritmo natural.
  • lambda é o parâmetro que calculamos anteriormente.
  • t é o tempo máximo que estamos considerando, no caso, 2234 horas.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(T <= 2234) = 1 - e^-0,0003779 times 2234
Primeiro, vamos calcular o expoente:
-0,0003779 times 2234 approx -0,8429
Então, a expressão fica:
P(T <= 2234) = 1 - e^-0,8429

Passo 5

Agora, calculamos e^-0,8429. Usando uma calculadora:
e^-0,8429 approx 0,4300
Então:
P(T <= 2234) = 1 - 0,4300 = 0,5700

Resposta

A probabilidade de que os ventiladores durem, no máximo, 2234 horas é de aproximadamente 0,5700 ou 57,00%.

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