Suponha que o tempo até a falha (em horas) de ventiladores em um computador pessoal pode ser modelado por uma distribuição exponencial com média de 3441 horas. (Utilize 4 casas decimais).
Qual é a probabilidade de que os ventiladores durem, no máximo, 13004 horas? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do tempo até a falha de ventiladores em um computador, que segue uma distribuição exponencial. A média desse tempo é de 3441 horas. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que os ventiladores durem no máximo 13004 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidades na distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma independente a uma taxa constante. A principal característica é que a probabilidade de falha em um intervalo de tempo depende apenas do tempo que já passou, não do quanto já durou.

Passo 3

Na distribuição exponencial, a média ( mu) está relacionada com a taxa de falha ( lambda) pela fórmula:
mu = 1lambda
Como a média é 3441 horas, podemos encontrar lambda:
lambda = 13441 approx 0.0002909 horas^-1

Passo 4

Queremos calcular a probabilidade de que os ventiladores durem no máximo 13004 horas. Em termos matemáticos, isso é:
P(X <= 13004)
Na distribuição exponencial, a função de distribuição acumulada (CDF) é dada por:
P(X <= x) = 1 - e^-lambda x

Passo 5

Vamos substituir lambda e x na fórmula:
P(X <= 13004) = 1 - e^-0.0002909 times 13004
Primeiro, calculamos o expoente:
-0.0002909 times 13004 approx -3.7772

Passo 6

Agora, calculamos a exponencial:
e^-3.7772 approx 0.0228
Então:
P(X <= 13004) = 1 - 0.0228 = 0.9772

Resposta

A probabilidade de que os ventiladores durem, no máximo, 13004 horas é de aproximadamente 0,9772 ou 97,72%.

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