Suponha que o tempo até a falha (em horas) de ventiladores em um computador pessoal pode ser modelado por uma distribuição exponencial com média de 3441 horas. (Utilize 4 casas decimais).
Qual é a probabilidade de que os ventiladores durem, no máximo, 13004 horas?
Qual é a probabilidade de que os ventiladores durem, no máximo, 13004 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do tempo até a falha de ventiladores em um computador, que segue uma distribuição exponencial. A média desse tempo é de 3441 horas. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que os ventiladores durem no máximo 13004 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidades na distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma independente a uma taxa constante. A principal característica é que a probabilidade de falha em um intervalo de tempo depende apenas do tempo que já passou, não do quanto já durou.
Passo 3
Na distribuição exponencial, a média (
) está relacionada com a taxa de falha (
) pela fórmula:
Como a média é 3441 horas, podemos encontrar
:
Passo 4
Queremos calcular a probabilidade de que os ventiladores durem no máximo 13004 horas. Em termos matemáticos, isso é:
Na distribuição exponencial, a função de distribuição acumulada (CDF) é dada por:
Passo 5
Vamos substituir
e
na fórmula:
Primeiro, calculamos o expoente:
Passo 6
Agora, calculamos a exponencial:
Então:
Resposta
A probabilidade de que os ventiladores durem, no máximo, 13004 horas é de aproximadamente 0,9772 ou 97,72%.