Suponha que o tempo até a falha (em horas) de ventiladores em um computador pessoal pode ser modelado por uma distribuição exponencial com média de 3441 horas. (Utilize 4 casas decimais).
Qual é a probabilidade de que os ventiladores durem entre 112 e 2038 horas? square

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos ventiladores cujo tempo até falhar segue uma distribuição exponencial com média de 3441 horas. O que queremos descobrir é a probabilidade de que esses ventiladores durem entre 112 e 2038 horas. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre distribuições exponenciais e como calcular probabilidades dentro de um intervalo usando essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em uma distribuição exponencial, a média $ \mu $ está relacionada à taxa $ \lambda $ pela fórmula:
mu
Aqui, a média $ \mu $ é 3441 horas, então:
lambda

Passo 3

Agora, para encontrar a probabilidade de que o tempo até a falha esteja entre dois valores $ a $ e $ b $ (no nosso caso, 112 e 2038 horas), usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
a
Onde $ F(x) $ é dado por:
b

Passo 4

Vamos calcular $ F(2038) $:
F(2038)
F(2038) = 1 - e^-13441 times 2038

Passo 5

Agora, vamos calcular $ F(112) $:
F(112)
F(112) = 1 - e^-13441 times 112

Passo 6

Finalmente, a probabilidade de que os ventiladores durem entre 112 e 2038 horas é:
P(112 < X < 2038) = F(2038) - F(112) = 0,4462 - 0,0320 = 0,4142

Resposta

A probabilidade de que os ventiladores durem entre 112 e 2038 horas é de aproximadamente 0,4142.

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