Suponha que o tempo
entre chamadas em um dado sistema tenha uma distribuição exponencial com um valor médio de 10 segundos.
Encontre a variância de
.
Encontre a variância de
Passo 1
O problema dá que o tempo
entre chamadas tem distribuição exponencial e que a média (valor esperado) é
segundos. A pergunta é: encontrar a variância de
.
Informações relevantes:
-
segundos (valor médio dado). -
segue a distribuição exponencial (sem outro parâmetro dado explicitamente).
Passo 2
Vamos lembrar a forma padrão da distribuição exponencial e o que cada coisa significa.
A função densidade de probabilidade (pdf) de uma variável aleatória exponencial com parâmetro
é
Aqui
é a taxa (unidade: 1/segundo). Dois fatos importantes que vamos usar:
- O valor esperado (média) é
. - A variância é
.
Vou mostrar de forma didática de onde vem
e
, assim você sabe como fazer se precisarem derivar na prova.
Cálculo de
. Por definição,
Fazemos integração por partes. Tome
e
. Então
e uma primitiva de
é
. Assim
O termo
e no
o termo vale
, logo resta
Passo 3
Usando o dado do enunciado
segundos, igualamos
Logo
Passo 4
Agora vamos calcular a variância à moda “mostrando o passo”:
.
Primeiro
:
Fazemos integração por partes uma vez com
,
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira é zero (mesma razão do passo anterior). Resta
Podemos avaliar
por substituição
(ou lembrar que é
). Fazendo a substituição:
Portanto
Agora a variância:
Observação prática e útil para prova: para a exponencial vale
. Ou seja, a variância é o quadrado da média.
Passo 5
Substituindo
na expressão
, obtemos
Pronto — resposta numérica com unidade. Se quiser decorar: para exponencial, média
implica variância
. Vai ajudar na prova quando estiver no calor do momento 😉