Suponha que o tempo T entre chamadas em um dado sistema tenha uma distribuição exponencial com um valor médio de 10 segundos.
Encontre a variância de T.

Passo 1

O problema dá que o tempo T entre chamadas tem distribuição exponencial e que a média (valor esperado) é 10 segundos. A pergunta é: encontrar a variância de T.
Informações relevantes:
  • E[T]=10 segundos (valor médio dado).
  • T segue a distribuição exponencial (sem outro parâmetro dado explicitamente).

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão da distribuição exponencial e o que cada coisa significa.
A função densidade de probabilidade (pdf) de uma variável aleatória exponencial com parâmetro \lambda>0 é
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0.
Aqui \lambda é a taxa (unidade: 1/segundo). Dois fatos importantes que vamos usar:
  • O valor esperado (média) é E[T]=\dfrac{1}{\lambda}.
  • A variância é \operatorname{Var}(T)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}.
Vou mostrar de forma didática de onde vem E[T]=1/\lambda e \operatorname{Var}(T)=1/\lambda^{2}, assim você sabe como fazer se precisarem derivar na prova.
Cálculo de E[T]. Por definição,
E[T]=\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Fazemos integração por partes. Tome u=t e dv=\lambda e^{-\lambda t}dt. Então du=dt e uma primitiva de dv é v=-e^{-\lambda t}. Assim
E[T]=\Big[-t e^{-\lambda t}\Big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt.
O termo \lim_{t\to\infty} t e^{-\lambda t}=0 e no t=0 o termo vale 0, logo resta
E[T]=\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\lambda}.

Passo 3

Usando o dado do enunciado E[T]=10 segundos, igualamos
\frac{1}{\lambda}=10.
Logo
\lambda=\frac{1}{10}=0{,}1\\ \text{s}^{-1}.

Passo 4

Agora vamos calcular a variância à moda “mostrando o passo”: \operatorname{Var}(T)=E[T^{2}]-(E[T])^{2}.
Primeiro E[T^{2}]:
E[T^{2}]=\int_{0}^{\infty} t^{2}\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Fazemos integração por partes uma vez com u=t^{2}, dv=\lambda e^{-\lambda t}dt. Então du=2t\,dt e v=-e^{-\lambda t}. Assim
E[T^{2}]=\Big[-t^{2}e^{-\lambda t}\Big]_{0}^{\infty}+2\int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t}\,dt.
O termo de fronteira é zero (mesma razão do passo anterior). Resta
E[T^{2}]=2\int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t}\,dt.
Podemos avaliar \int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t}\,dt por substituição s=\lambda t (ou lembrar que é 1/\lambda^{2}). Fazendo a substituição:
\int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t}\,dt=\frac{1}{\lambda^{2}}\int_{0}^{\infty} s e^{-s}\,ds=\frac{1}{\lambda^{2}}\cdot 1!=\frac{1}{\lambda^{2}}.
Portanto
E[T^{2}]=2\cdot\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{2}{\lambda^{2}}.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(T)=E[T^{2}]-(E[T])^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}.
Observação prática e útil para prova: para a exponencial vale \operatorname{Var}(T)=(E[T])^{2}. Ou seja, a variância é o quadrado da média.

Passo 5

Substituindo \lambda=\dfrac{1}{10} na expressão \operatorname{Var}(T)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}, obtemos
\operatorname{Var}(T)=\left(\!10\right)^{2}=100\\ \text{s}^{2}.
Pronto — resposta numérica com unidade. Se quiser decorar: para exponencial, média m implica variância m^{2}. Vai ajudar na prova quando estiver no calor do momento 😉

Resposta

100\\ \text{s}^{2}

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